자연계열 2번

■ 2-1.$\displaystyle l_n$은 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 $\displaystyle (a_n,f(a_n))$에서의 접선이므로, 접선의 방정식 공식에 의하여 $\displaystyle l_n:y-f(a_n)=f^{\prime}(a_n)(x-a_n)$이고, $\displaystyle a_{n+1}$은 $\displaystyle l_n$의 $\displaystyle x$절편이므로, $\displaystyle (a_{n+1},0)$은 $\displaystyle l_n$의 한 점이다. 따라서 $\displaystyle -f(a_n)=f^{\prime}(a_n)(a_{n+1}-a_n)$ 및 $\displaystyle a_{n+1}=a_n-\frac{f(a_n)}{f^{\prime}(a_n)}$이 성립한다.도함수를 계산하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+1$이므로, 이를 위 식에 대입하여 정리하면 $\displaystyle a_{n+1}=a_n-\frac{f(a_n)}{f^{\prime}(a_n)}=a_n-\frac{a_n^3+a_n-2}{3a_n^2+1}=\frac{2a_n^3+2}{3a_n^2+1}$이다.

■ 2-2.위의 식에서 양변에 1를 빼고 절댓값을 취한 뒤 인수분해하여 정리하면 다음과 같다.$\displaystyle |a_{n+1}-1|=\left|\frac{2a_n^3+2}{3a_n^2+1}-1\right|=\left|\frac{2a_n^3-3a_n^2+1}{3a_n^2+1}\right|=\left|\frac{(a_n-1)(2a_n^2-a_n-1)}{3a_n^2+1}\right|=|a_n-1|\left|\frac{2a_n^2-a_n-1}{3a_n^2+1}\right|$여기서, 모든 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 1\le a_n\le3$이므로 $\displaystyle 2a_n^2-a_n-1\ge0$, $\displaystyle 3a_n^2+1>0$ 및 $\displaystyle a_n+\frac35>0$이므로,Correction. 이어지는 계산에서 빼는 항은 $\displaystyle a_n+\frac53$이므로, 앞 문장의 $\displaystyle \frac35$는 $\displaystyle \frac53$의 오기로 보인다. 다만 $\displaystyle 1\le a_n\le3$에서 두 항은 모두 양수이므로 부등식의 결론에는 영향이 없다. 원문 표기는 그대로 실었다.$\displaystyle \left|\frac{2a_n^2-a_n-1}{3a_n^2+1}\right|=\frac{2a_n^2-a_n-1}{3a_n^2+1}=\frac{2(a_n^2+\frac13)-a_n-\frac53}{3(a_n^2+\frac13)}=\frac{2(a_n^2+\frac13)}{3(a_n^2+\frac13)}-\frac{a_n+\frac53}{3(a_n^2+\frac13)}\le\frac{2(a_n^2+\frac13)}{3(a_n^2+\frac13)}=\frac23$이다. 따라서, $\displaystyle |a_{n+1}-1|\le\frac23|a_n-1|$를 얻는다.