자연계열 1번

<가>$\displaystyle n\ge k$인 자연수 $\displaystyle n$과 $\displaystyle k$에 대하여 유리수 $\displaystyle \alpha(n,k)$를$\displaystyle \alpha(n,k)=\frac1k{}_{2n-k}\mathrm C_{k-1}$이라고 정의하자. 이때$\displaystyle {}_{n}\mathrm C_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)}{r!}$은 서로 다른 $\displaystyle n$개에서 $\displaystyle r$ ($\displaystyle 0\le r\le n$)개를 택하는 조합의 수이다. 단, $\displaystyle 0!=1$로 정의한다. 그러면 항등식$\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$을 이용하여 $\displaystyle n\ge4$일 때 명제① ‘$\displaystyle \alpha(n,4)$는 자연수이다.’가 참임을 증명할 수 있다. 또한, $\displaystyle n\ge3$일 때 명제 ‘$\displaystyle 3\cdot\alpha(n,n-1)$이 자연수이다.’가 참임을 다음과 같이 증명할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}\alpha(n,n-1)&=\frac1{n-1}{}_{n+1}\mathrm C_{n-2}=\frac1{n-1}{}_{n+1}\mathrm C_3\\&=\frac1{n-1}\frac{(n+1)n(n-1)}{3\cdot2\cdot1}=\frac13\cdot\frac{(n+1)n}{2\cdot1}\\&=\frac13{}_{n+1}\mathrm C_2\end{aligned}$소수는 $\displaystyle 1$과 자기 자신만을 약수로 가지는 $\displaystyle 1$보다 큰 자연수이다. 유리수 $\displaystyle \alpha(17,7)$은 정의에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\alpha(17,7)&=\frac17{}_{27}\mathrm C_6\\&=\frac{27\cdot26\cdot\cdots\cdot22}{7!}\quad\cdots\cdots\quad(1)\end{aligned}$이다. 유리수 $\displaystyle \alpha(17,7)$이 자연수라고 가정하면, (1)의 우변의 분모인 $\displaystyle 7!$이 소수 $\displaystyle 7$의 배수이므로, 분자$\displaystyle 27\cdot26\cdot\cdots\cdot22\quad\cdots\cdots\quad(2)$는 소수 $\displaystyle 7$의 배수이다. 그런데 (2)는 소수 $\displaystyle 7$의 배수가 아님을 증명할 수 있다. 따라서 모순이다. 그러므로 $\displaystyle \alpha(17,7)$은 자연수가 아니다.