자연계열 1번

■ 1-1$\displaystyle n\ge4$일 때$\displaystyle \begin{aligned}\alpha(n,4)&=\frac14{}_{2n-4}\mathrm C_3=\frac{(2n-4)(2n-5)(2n-6)}{4\cdot3\cdot2\cdot1}\\&=\frac{(n-2)(2n-5)(n-3)}{3\cdot2}\\&=\frac16(n-3)(n-2)(2n-5)\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}&=\frac16(n-3)\{(n-3)+1\}\{2(n-3)+1\}\\&=1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-3)^2\end{aligned}$이므로 $\displaystyle \alpha(n,4)$는 자연수이다.

■ 1-2$\displaystyle n\ge4$일 때$\displaystyle \begin{aligned}5\cdot\alpha(n,n-2)&=\frac5{n-2}{}_{n+2}\mathrm C_{n-3}=\frac5{n-2}{}_{n+2}\mathrm C_5\\&=\frac5{n-2}\frac{(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)}{5!}\\&=\frac{(n+2)(n+1)n(n-1)}{4!}\\&={}_{n+2}\mathrm C_4\end{aligned}$이다. $\displaystyle {}_{n+2}\mathrm C_4$는 자연수이므로 $\displaystyle 5\cdot\alpha(n,n-2)$는 자연수이다.

또한$\displaystyle \begin{aligned}\alpha(100,67)&=\frac1{67}{}_{133}\mathrm C_{66}\\&=\frac{133\cdot132\cdot\cdots\cdot68}{67!}\quad\cdots\cdots\quad(1)\end{aligned}$이다. 유리수 $\displaystyle \alpha(100,67)$이 자연수라고 가정하면, (1)의 우변의 분모인 $\displaystyle 67!$이 소수 $\displaystyle 67$의 배수이므로, 분자$\displaystyle 133\cdot132\cdot\cdots\cdot68\quad\cdots\cdots\quad(2)$은 소수 $\displaystyle 67$의 배수이다. 그런데 (2)는 소수 $\displaystyle 67$의 배수인 $\displaystyle 134$보다 $\displaystyle 1$씩 작은 연속된 $\displaystyle 66$개의 자연수 $\displaystyle 133,132,\cdots,68$의 곱이므로 소수 $\displaystyle 67$의 배수가 아니다. 따라서 모순이다. 그러므로 $\displaystyle \alpha(100,67)$은 자연수가 아니다.