자연계열 2번

<나>좌표평면에서 시간에 따라 움직이는 점 $\displaystyle \mathrm P$의 시각 $\displaystyle t$에서의 위치 $\displaystyle \mathrm P(x,y)$가 $\displaystyle x=f(t)$, $\displaystyle y=g(t)$로 주어질 때, 점 $\displaystyle \mathrm P$의 시각 $\displaystyle t$에서의 속도는 $\displaystyle (f^{\prime}(t),g^{\prime}(t))$이고, 시각 $\displaystyle t$에서의 속력은$\displaystyle \sqrt{\{f^{\prime}(t)\}^2+\{g^{\prime}(t)\}^2}$이다.어떤 축구 선수가 내리막길 앞에서 공을 높이 찼을 때 공의 위치를 좌표평면에 나타내 보자. 원점 $\displaystyle \mathrm O$에서 제1사분면 방향으로 공을 찼을 때 공을 찬 방향과 $\displaystyle x$축이 이루는 예각을 $\displaystyle \theta$라 하자. 그리고 내리막길은 제4사분면에 어떤 연속함수의 그래프로 주어진다고 하자. 시각 $\displaystyle t$ ($\displaystyle t\ge0$)에서의 공의 위치를 $\displaystyle \mathrm P(x,y)$라 하면$\displaystyle \begin{cases}x=10t\cos\theta\\y=10t\sin\theta-5t^2\end{cases}$인 관계가 성립한다고 한다.<그림 1>에서의 내리막길은 일차함수 $\displaystyle y=-\frac1{\sqrt3}x$ ($\displaystyle x\ge0$)의 그래프를 나타낸다. 원점 $\displaystyle \mathrm O$에서 찬 공이 내리막길에 처음 닿은 지점을 점 $\displaystyle \mathrm A$라 할 때, 점 $\displaystyle \mathrm A$의 $\displaystyle x$좌표는$\displaystyle 20\left(\sin\theta\cos\theta+\frac1{\sqrt3}\cos^2\theta\right)$이고 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$일 때 최댓값을 가진다.

<그림 2>에서의 내리막길은 이차함수 $\displaystyle y=-\frac1{40}x^2$ ($\displaystyle x\ge0$)의 그래프를 나타낸다. 원점 $\displaystyle \mathrm O$에서 찬 공이 내리막길에 처음 닿은 지점을 점 $\displaystyle \mathrm B$라 하자. 이때 $\displaystyle u=\tan\theta$로 놓으면, 점 $\displaystyle \mathrm B$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle u$의 함수로 나타낼 수 있고, 이를 이용하여 점 $\displaystyle \mathrm B$의 $\displaystyle x$좌표가 최대가 되도록 하는 각 $\displaystyle \theta$의 값을 구할 수 있다.