자연계열 2번

■ 2-1점 $\displaystyle \mathrm P$의 시각 $\displaystyle t$에서의 위치는 $\displaystyle x=f(t)=10t\cos\theta$, $\displaystyle y=g(t)=10t\sin\theta-5t^2$이다. $\displaystyle \theta=\frac\pi4$일 때$\displaystyle f(t)=5\sqrt2t,\ g(t)=5\sqrt2t-5t^2$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(t)=5\sqrt2$, $\displaystyle g^{\prime}(t)=5\sqrt2-10t$이다. 그러면 점 $\displaystyle \mathrm P$의 속력은$\displaystyle \sqrt{\{f^{\prime}(t)\}^2+\{g^{\prime}(t)\}^2}=\sqrt{50+25(\sqrt2-2t)^2}$이고, $\displaystyle t=\frac1{\sqrt2}$일 때 최솟값을 갖는다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm P$의 $\displaystyle y$좌표는$\displaystyle g\left(\frac1{\sqrt2}\right)=5\sqrt2\cdot\frac1{\sqrt2}-5\cdot\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2=\frac52$이다.

■ 2-2점 $\displaystyle \mathrm B$는 점 $\displaystyle \mathrm P$가 나타내는 곡선과 곡선 $\displaystyle y=-\frac1{40}x^2$의 원점이 아닌 교점이다. 그러면$\displaystyle 10t\sin\theta-5t^2=-\frac1{40}(10t\cos\theta)^2$이고$\displaystyle t\{(2-\cos^2\theta)t-4\sin\theta\}=0$$\displaystyle \Rightarrow\ t=0\text{ 또는 }t=\frac{4\sin\theta}{2-\cos^2\theta}$이다. 따라서 공이 점 $\displaystyle \mathrm B$에 닿은 시각은 $\displaystyle t=\frac{4\sin\theta}{2-\cos^2\theta}$이고, 이때 점 $\displaystyle \mathrm B$의 $\displaystyle x$좌표는$\displaystyle p(\theta)=10\left(\frac{4\sin\theta}{2-\cos^2\theta}\right)\cos\theta=\frac{40\sin\theta\cos\theta}{2-\cos^2\theta}$

이다. 위 식의 분모와 분자를 $\displaystyle \cos^2\theta$로 나누면 $\displaystyle 1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$로부터$\displaystyle p(\theta)=\frac{40\tan\theta}{2\sec^2\theta-1}=\frac{40\tan\theta}{2\tan^2\theta+1}$이다. 이제 $\displaystyle u=\tan\theta$로 놓으면 $\displaystyle \frac{40\tan\theta}{2\tan^2\theta+1}=\frac{40u}{2u^2+1}$ ($\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2,u>0$)이다. $\displaystyle p(\theta)$가 최대가 되게 하는 $\displaystyle u$의 값을 구하기 위해 $\displaystyle h(u)=\frac{40u}{2u^2+1}$로 놓자. $\displaystyle h^{\prime}(u)=\frac{40(-2u^2+1)}{(2u^2+1)^2}$이므로, 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서$\displaystyle 0<u<\frac1{\sqrt2}$일 때 $\displaystyle h^{\prime}(u)>0$이므로 $\displaystyle h(u)$는 증가,$\displaystyle u=\frac1{\sqrt2}$일 때 $\displaystyle h^{\prime}(u)=0$,$\displaystyle u>\frac1{\sqrt2}$일 때 $\displaystyle h^{\prime}(u)<0$이므로 $\displaystyle h(u)$는 감소한다.따라서 $\displaystyle \tan\theta=u=\frac1{\sqrt2}$일 때 $\displaystyle p(\theta)$는 최댓값을 갖는다.