자연계열 3번

■ 3-1$\displaystyle I=\int_0^1(x^2+1)e^{x^2}\,dx$로 놓으면$\displaystyle I=\int_0^1x^2e^{x^2}\,dx+\int_0^1e^{x^2}\,dx$이다. 정적분 $\displaystyle \int_0^1x^2e^{x^2}\,dx$에서 $\displaystyle f(x)=x$, $\displaystyle g^{\prime}(x)=xe^{x^2}$으로 놓으면, $\displaystyle f^{\prime}(x)=1$이고 제시문의 예로부터 $\displaystyle g(x)=\frac12e^{x^2}$이다. 따라서$\displaystyle \int_0^1x^2e^{x^2}\,dx=\Biggl[\frac12xe^{x^2}\Biggr]_0^1-\frac12\int_0^1e^{x^2}\,dx=\frac e2-\frac A2$이고$\displaystyle I=\int_0^1x^2e^{x^2}\,dx+\int_0^1e^{x^2}\,dx=\frac e2-\frac A2+A=\frac e2+\frac A2$이다.

■ 3-2정적분 $\displaystyle \int_{2-x}^1\frac{x+t-2}{3-t}f(2-t)\,dt$에서 $\displaystyle 2-t=u$로 놓으면 $\displaystyle -\frac{dt}{du}=1$이고 $\displaystyle t=2-x$일 때 $\displaystyle u=x$, $\displaystyle t=1$일 때 $\displaystyle u=1$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\int_{2-x}^1\frac{x+t-2}{3-t}f(2-t)\,dt&=-\int_x^1\frac{x-u}{u+1}f(u)\,du\\&=x\int_1^x\frac1{u+1}f(u)\,du-\int_1^x\frac u{u+1}f(u)\,du\end{aligned}$이다. 따라서 ㉡에서 주어진 등식은 다음과 같다.$\displaystyle 5\int_1^xf(t)\,dt-x\int_1^x\frac1{u+1}f(u)\,du+\int_1^x\frac u{u+1}f(u)\,du=5(x-1)$양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle 5f(x)-\int_1^x\frac1{u+1}f(u)\,du-\frac x{x+1}f(x)+\frac x{x+1}f(x)=5$$\displaystyle 5f(x)-\int_1^x\frac1{u+1}f(u)\,du=5$이다. 위 식에서 양변에 $\displaystyle x=1$을 대입하면 $\displaystyle f(1)=1$이다.

위 식의 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle 5f^{\prime}(x)-\frac1{x+1}f(x)=0,\quad\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac1{5(x+1)}$이고, 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 적분하면, $\displaystyle x>0$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)>0$이고 $\displaystyle f(1)=1$이므로$\displaystyle \int_1^x\frac{f^{\prime}(t)}{f(t)}\,dt=\int_1^x\frac1{5(t+1)}\,dt$$\displaystyle \ln f(x)-\ln f(1)=\frac15\ln(x+1)-\frac15\ln2=\frac15\ln\frac{x+1}2$이다. 따라서$\displaystyle f(x)=e^{\frac15\ln\frac{x+1}2}=\left(\frac{x+1}2\right)^{\frac15}$이고$\displaystyle f(63)=\left(\frac{63+1}2\right)^{\frac15}=32^{\frac15}=2$이다.