자연계열 3번

<다>닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$에 대하여 미분가능한 함수 $\displaystyle x=g(t)$의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(t)$가 $\displaystyle a=g(\alpha)$, $\displaystyle b=g(\beta)$일 때 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$를 포함하는 구간에서 연속이면$\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt$이다. 예를 들어, 정적분 $\displaystyle \int_0^1xe^{x^2}\,dx$를 구해 보자. 이때 $\displaystyle x^2=t$로 놓으면 $\displaystyle 2x\frac{dx}{dt}=1$이고 $\displaystyle x=0$일 때 $\displaystyle t=0$, $\displaystyle x=1$일 때 $\displaystyle t=1$이므로$\displaystyle \int_0^1xe^{x^2}\,dx=\int_0^1\frac12e^t\,dt=\Biggl[\frac12e^t\Biggr]_0^1=\frac12(e-1)$이다.또한, 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속인 도함수를 갖는 두 함수 $\displaystyle f(x)$, $\displaystyle g(x)$에 대하여$\displaystyle \{f(x)g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)$이므로 $\displaystyle f(x)g(x)$는 $\displaystyle f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)$의 한 부정적분이다. 따라서$\displaystyle \int_a^b\{f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\}\,dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b$이므로$\displaystyle \int_a^bf(x)g^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^bf^{\prime}(x)g(x)\,dx$이다. 예를 들어, 정적분 $\displaystyle \int_0^1xe^{-x}\,dx$를 구해 보자. 이때 $\displaystyle f(x)=x$, $\displaystyle g^{\prime}(x)=e^{-x}$로 놓으면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1$, $\displaystyle g(x)=-e^{-x}$이므로$\displaystyle \int_0^1xe^{-x}\,dx=\Biggl[-xe^{-x}\Biggr]_0^1+\int_0^1e^{-x}\,dx=-e^{-1}+\Biggl[-e^{-x}\Biggr]_0^1=1-\frac2e$이다.

$\displaystyle x>0$인 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여㉠ $\displaystyle f(x)>0$㉡ $\displaystyle 5\int_1^xf(t)\,dt-\int_{2-x}^1\frac{x+t-2}{3-t}f(2-t)\,dt=5(x-1)$