자연계열 1번

1-1.$\displaystyle f(x)=x^3$이라 하면 함수 $\displaystyle f(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 연속이다.이때 $\displaystyle a=0$, $\displaystyle b=1$이므로$\displaystyle \Delta x=\frac{b-a}n=\frac1n,\ x_k=a+k\Delta x=\frac kn,\ f(x_k)=x_k^3=\left(\frac kn\right)^3$

이므로, 정적분과 급수의 합 사이의 관계에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1x^3\,dx&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf(x_k)\Delta x\\&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k^3}{n^3}\times\frac1n\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^4}\sum_{k=1}^nk^3\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}&=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^4}\times\left\{\frac{n(n+1)}2\right\}^2\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{n^4+2n^3+n^2}{4n^4}=\frac14\end{aligned}$이다.

1-2. 주어진 식을 급수의 합 표현으로 바꾸면$\displaystyle \begin{aligned}&\lim_{N\to\infty}\left\{\ln\left(\frac{2^N+1}{2^N}\right)^{\frac1{2^N}}+\ln\left(\frac{2^N+2}{2^N}\right)^{\frac1{2^N}}+\cdots+\ln\left(\frac{2^N+2^N}{2^N}\right)^{\frac1{2^N}}\right\}\\&=\lim_{N\to\infty}\sum_{k=1}^{2^N}\ln\left(\frac{2^N+k}{2^N}\right)^{\frac1{2^N}}\\&=\lim_{N\to\infty}\sum_{k=1}^{2^N}\frac1{2^N}\ln\left(\frac{2^N+k}{2^N}\right)\\&=\lim_{N\to\infty}\sum_{k=1}^{2^N}\frac1{2^N}\ln\left(1+\frac k{2^N}\right)\end{aligned}$

이다. 이때, $\displaystyle f(x)=\ln(x)$, $\displaystyle a=1$, $\displaystyle b=2$, $\displaystyle n=2^N$으로 놓으면$\displaystyle \Delta x=\frac{b-a}n=\frac1{2^N},\ x_k=a+k\Delta x=1+\frac k{2^N}$이다. 따라서 정적분과 급수의 합 사이의 관계에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{N\to\infty}\sum_{k=1}^{2^N}\frac1{2^N}\ln\left(1+\frac k{2^N}\right)&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf(x_k)\Delta x\\&=\int_1^2f(x)\,dx=\int_1^2(\ln x)\,dx\end{aligned}$

$\displaystyle =\Biggl[x\ln x-x\Biggr]_1^2=(2\ln2-2)-(0-1)=2\ln2-1$이다.