자연계열 3번

3-1- 홀수이면 1 짝수이면 -1이 되기 위해서는 공비가 -1이 되어야 하며 첫째항은 1이어야 하기 때문에 $\displaystyle a_n=ar^{n-1}=1(-1)^{n-1}$가 된다.

- 홀수이면 0, 짝수이면 1이 되는 수열의 경우 앞의 $\displaystyle a_n$을 이용하여 다음과 같이 유도할 수 있다.$\displaystyle b_n=\frac{1-a_n}2=\frac{1-(-1)^{n-1}}2$

3-2.$\displaystyle n$인 짝수인 수열의 합은 $\displaystyle f_2+f_4+f_6+\cdots=\sum_{n=1}^\infty f_{2n}$이며

- 풀이1) $\displaystyle b_n$을 이용하는 경우: 2-1의 $\displaystyle b_n$을 이용하여 다음과 같이 표시할 수 있다.Correction. 이 풀이의 ‘2-1’은 ‘3-1’의 오기이며, ‘제시문 가)’는 등비급수 공식을 제시한 ‘제시문 <마>’의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty f_{2n}=\sum_{n=1}^\infty b_nf_n=\sum_{n=1}^\infty\frac{1-(-1)^{n-1}}2pq^{n-1}=\frac p2\left(\sum_{x=1}^\infty q^{x-1}-\sum_{x=1}^\infty(-q)^{x-1}\right)$여기서 괄호 안에 있는 두 합은 각각 첫째항이 1이고 공비가 $\displaystyle q$와 $\displaystyle -q$인 등비급수이고 $\displaystyle |q|=|1-p|<1$이므로 제시문 가)의 공식에 의해 다음과 같이 정리할 수 있다.$\displaystyle =\frac p2\left(\frac1{1-q}-\frac1{1+q}\right)=\frac p2\left(\frac1p-\frac1{2-p}\right)=\frac12-\frac p{2(2-p)}$$\displaystyle 0<p<1$이므로 위의 식에서 $\displaystyle p/(2(2-p))>0$이므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty f_{2n}<\frac12$