자연계열 2번

숙명여대 2023학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2023mo/jayeon_2

<나>삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 에서 $\displaystyle \angle\mathrm A$ , $\displaystyle \angle\mathrm B$ , $\displaystyle \angle\mathrm C$ 의 크기를 각각 $\displaystyle A,B,C$ 라 하고 이들의 대변의 길이를 각각 $\displaystyle a,b,c$ 라 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 넓이는 밑변이 $\displaystyle a$ , 높이가 $\displaystyle h$ 일 때 $\displaystyle \frac12ah$ 이다. 삼각함수를 이용하여 높이 $\displaystyle h$ 를 $\displaystyle b$ 와 $\displaystyle \sin C$ 로 나타내면 $\displaystyle h=b\sin C$ 이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac12ab\sin C\quad\cdots\cdots\quad\text{①}$ 이다.

한편 $\displaystyle \sin^2x+\cos^2x=1$ 과 코사인법칙을 이용하여 $\displaystyle \sin C$ 를 $\displaystyle a,b,c$ 로 나타내면 삼각형의 넓이는 $\displaystyle \sqrt{\frac1{16}(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}$ 와 같이 나타낼 수 있다. 여기서 $\displaystyle s=\frac{a+b+c}2$ 라 두면 위 식은 $\displaystyle \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\quad\cdots\cdots\quad\text{②}$ 이다. 삼각형의 넓이를 구하는 이 식을 ‘헤론의 공식’이라 한다.

<다> $\displaystyle n$ 이 자연수일 때 $\displaystyle n$ 개의 양수 $\displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_n$ 에 대하여 이들의산술평균 $\displaystyle \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n$ 과 기하평균 $\displaystyle (x_1x_2\cdots x_n)^{\frac1n}$ 은 부등식 $\displaystyle \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n\ge(x_1x_2\cdots x_n)^{\frac1n}$ 을 만족시키고 등호는 $\displaystyle x_1=x_2=\cdots=x_n$ 일 때 성립한다.

<라>둘레의 길이가 일정한 직사각형 중에서 넓이가 최대인 직사각형은 정사각형임을 미분을 사용하지 않고 다음과 같이 보일 수 있다.주어진 직사각형의 둘레의 길이를 $\displaystyle L$ 이라 하고 한 변의 길이를 $\displaystyle x$ 라 하면 다른 한 변의 길이는 $\displaystyle \frac{L-2x}2$ 이다. 이 직사각형의 넓이를 $\displaystyle A(x)$ 라 하면 $\displaystyle A(x)=x\left(\frac{L-2x}2\right)=\frac12Lx-x^2=\frac{L^2}{16}-\left(x-\frac L4\right)^2$ 여기서 $\displaystyle \left(x-\frac L4\right)^2\ge0$ 이므로 $\displaystyle A(x)=\frac{L^2}{16}-\left(x-\frac L4\right)^2\le\frac{L^2}{16}$ 이다.사각형의 넓이는 $\displaystyle \frac{L^2}{16}$ 보다 클 수 없고 $\displaystyle A(x)=\frac{L^2}{16}$ 이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle x=\frac L4$ 이다.따라서 둘레의 길이가 일정한 직사각형 중에서 넓이가 최대인 사각형은 정사각형이다.

2-1. 제시문 <나>에서 식 ①로부터 식 ②를 유도하는 과정을 서술하시오.

2-2. 제시문 <나>-<라>를 이용하여 둘레의 길이가 일정한 삼각형 중에서 넓이가 최대인 삼각형은 어떤 삼각형인지를, 구하는 과정과 함께 설명하시오.

해설강의 준비중

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5점 · 코사인법칙을 사용하여

\displaystyle \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

이므로

\displaystyle \sin C=\sqrt{1-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2}

임을 보인다

2-1. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 넓이를 $\displaystyle A$ 라 하면 $\displaystyle A=\frac12ab\sin C$ 이다. $\displaystyle \sin^2C+\cos^2C=1$ 이므로 $\displaystyle \sin C=\sqrt{1-\cos^2C}$ 이고코사인법칙 $\displaystyle c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 에서 $\displaystyle \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ 이므로 $\displaystyle \sin C=\sqrt{1-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2}$

5점 · 근호안의 식을 정리하여

\displaystyle \frac12ab\sin C=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

임을 보인다.

$\displaystyle \begin{aligned}A=\frac12ab\sin C&=\frac12ab\sqrt{1-\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2b^2}}=\frac14\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}\\&=\frac14\sqrt{\{2ab+(a^2+b^2-c^2)\}\{2ab-(a^2+b^2-c^2)\}}\\&=\frac14\sqrt{\{(a+b)^2-c^2)\}\{c^2-(a-b)^2\}}\\&=\frac14\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}\end{aligned}$ Correction. 헤론의 공식을 전개한 식에서 $\displaystyle (a+b)^2-c^2$ 뒤의 닫는 소괄호 하나가 잘못 들어갔다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.여기서 $\displaystyle s=\frac{a+b+c}2$ 라 두면 $\displaystyle \begin{aligned}A&=\sqrt{\frac1{16}(a+b+c)(a+b+c-2c)(a+b+c-2b)(a+b+c-2a)}\\&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\end{aligned}$

3점 · 제시문 <다>의 산술-기하평균 부등식에서

\displaystyle n=3

인 경우를 사용한다.

2-2. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 세 변의 길이를 각각 $\displaystyle a,b,c$ 라 하고 $\displaystyle s=\frac{a+b+c}2$ 라 하자.삼각형의 넓이를 $\displaystyle A$ 라 하면 헤론의 공식에 의해 $\displaystyle A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ 이다.따라서 삼각형의 넓이가 최대인 경우는 $\displaystyle (s-a)(s-b)(s-c)$ 가 최대인 경우이다.제시문 (나)에서 $\displaystyle n=3$ 인 경우를 생각하면 $\displaystyle (s-a),(s-b),(s-c)$ 가 모두 양수일 때 부등식 ②가 성립한다.Correction. 풀이에서 인용한 ‘제시문 (나)의 부등식 ②’는 ‘제시문 (다)의 부등식’의 오기이다. 제시문 (나)의 ②는 헤론의 공식이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

3점 ·

\displaystyle (s-a),(s-b),(s-c)

가 모두 양수임을 보인다.

$\displaystyle s-a=\frac{a+b+c}2-a=\frac{-a+b+c}2,\ s-b=\frac{a+b+c}2-b=\frac{a-b+c}2$ $\displaystyle s-c=\frac{a+b+c}2-c=\frac{a+b-c}2$ 이고 $\displaystyle a,b,c$ 는 삼각형의 세 변의 길이이므로 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 크다.따라서 $\displaystyle (s-a),(s-b),(s-c)$ 는 모두 양수이고

4점 · 산술-기하평균 부등식을 이용하여 삼각형의 넓이가 최댓값을 갖는 것은

\displaystyle (s-a)=(s-b)=(s-c)

일 때, 즉 세 변의 길이가 모두 같은 정삼각형일 때임을 설명한다.

$\displaystyle \frac{(s-a)+(s-b)+(s-c)}3=\frac{3s-(a+b+c)}3=\frac s3\ge\{(s-a)(s-b)(s-c)\}^{1/3}$ 이 성립한다.즉 $\displaystyle (s-a)(s-b)(s-c)$ 의 값은 $\displaystyle \frac s3$ 보다 클 수 없고 $\displaystyle (s-a)(s-b)(s-c)$ 가 최댓값을 갖는 것은Correction. 곱 $\displaystyle (s-a)(s-b)(s-c)$ 의 상한은 $\displaystyle s/3$ 이 아니라 $\displaystyle (s/3)^3$ 이다. 바로 앞의 부등식과 정삼각형일 때 넓이가 최대라는 결론은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다. $\displaystyle (s-a)=(s-b)=(s-c)$ 일 때이다.즉 삼각형의 넓이가 최대인 경우는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 가 $\displaystyle a=b=c$ 인 정삼각형일 때이다.

등급	취득점수
1등급	18
2등급	16
3등급	14
4등급	12
5등급	10
6등급	8
7등급	6
8등급	4
9등급	2

(문항 당)

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