자연계열 2번

2-1. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이를 $\displaystyle A$라 하면 $\displaystyle A=\frac12ab\sin C$이다.$\displaystyle \sin^2C+\cos^2C=1$이므로 $\displaystyle \sin C=\sqrt{1-\cos^2C}$이고코사인법칙 $\displaystyle c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 에서$\displaystyle \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$이므로 $\displaystyle \sin C=\sqrt{1-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2}$

$\displaystyle \begin{aligned}A=\frac12ab\sin C&=\frac12ab\sqrt{1-\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2b^2}}=\frac14\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}\\&=\frac14\sqrt{\{2ab+(a^2+b^2-c^2)\}\{2ab-(a^2+b^2-c^2)\}}\\&=\frac14\sqrt{\{(a+b)^2-c^2)\}\{c^2-(a-b)^2\}}\\&=\frac14\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}\end{aligned}$Correction. 헤론의 공식을 전개한 식에서 $\displaystyle (a+b)^2-c^2$ 뒤의 닫는 소괄호 하나가 잘못 들어갔다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.여기서 $\displaystyle s=\frac{a+b+c}2$라 두면$\displaystyle \begin{aligned}A&=\sqrt{\frac1{16}(a+b+c)(a+b+c-2c)(a+b+c-2b)(a+b+c-2a)}\\&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\end{aligned}$

2-2. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 세 변의 길이를 각각 $\displaystyle a,b,c$라 하고 $\displaystyle s=\frac{a+b+c}2$라 하자.삼각형의 넓이를 $\displaystyle A$라 하면 헤론의 공식에 의해$\displaystyle A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$이다.따라서 삼각형의 넓이가 최대인 경우는 $\displaystyle (s-a)(s-b)(s-c)$가 최대인 경우이다.제시문 (나)에서 $\displaystyle n=3$인 경우를 생각하면 $\displaystyle (s-a),(s-b),(s-c)$가 모두 양수일 때 부등식 ②가 성립한다.Correction. 풀이에서 인용한 ‘제시문 (나)의 부등식 ②’는 ‘제시문 (다)의 부등식’의 오기이다. 제시문 (나)의 ②는 헤론의 공식이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle s-a=\frac{a+b+c}2-a=\frac{-a+b+c}2,\ s-b=\frac{a+b+c}2-b=\frac{a-b+c}2$$\displaystyle s-c=\frac{a+b+c}2-c=\frac{a+b-c}2$이고$\displaystyle a,b,c$는 삼각형의 세 변의 길이이므로 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 크다.따라서 $\displaystyle (s-a),(s-b),(s-c)$는 모두 양수이고

$\displaystyle \frac{(s-a)+(s-b)+(s-c)}3=\frac{3s-(a+b+c)}3=\frac s3\ge\{(s-a)(s-b)(s-c)\}^{1/3}$이 성립한다.즉 $\displaystyle (s-a)(s-b)(s-c)$의 값은 $\displaystyle \frac s3$보다 클 수 없고 $\displaystyle (s-a)(s-b)(s-c)$가 최댓값을 갖는 것은Correction. 곱 $\displaystyle (s-a)(s-b)(s-c)$의 상한은 $\displaystyle s/3$이 아니라 $\displaystyle (s/3)^3$이다. 바로 앞의 부등식과 정삼각형일 때 넓이가 최대라는 결론은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.$\displaystyle (s-a)=(s-b)=(s-c)$일 때이다.즉 삼각형의 넓이가 최대인 경우는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$가 $\displaystyle a=b=c$인 정삼각형일 때이다.