자연계열 1번

■ 1-1먼저 $\displaystyle n=3$일 때를 생각하면,$\displaystyle \text{(좌변)}=4\ln3=\ln3^4=\ln81,\quad\text{(우변)}=3\ln4=\ln4^3=\ln64$이다. 따라서 $\displaystyle n=3$일 때 주어진 부등식이 성립한다.$\displaystyle n=k$ ($\displaystyle k\ge3$)일 때 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면$\displaystyle (k+1)\ln k>k\ln(k+1)$이다. $\displaystyle n=k+1$일 때를 생각하면,

$\displaystyle \begin{aligned}(k+2)\ln(k+1)&=(k+2)\ln(k+1)-(k+1)\ln k+(k+1)\ln k\\&>(k+2)\ln(k+1)-(k+1)\ln k+k\ln(k+1)\\&=2(k+1)\ln(k+1)-(k+1)\ln k\\&=(k+1)\ln\frac{(k+1)^2}k=(k+1)\ln\left(k+2+\frac1k\right)\\&>(k+1)\ln(k+2)\end{aligned}$이다. 따라서, $\displaystyle (k+2)\ln(k+1)>(k+1)\ln(k+2)$이므로, $\displaystyle n=k+1$일 때도 성립한다.

■ 1-2함수 $\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}x$ ($\displaystyle x\ge3$)에서 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{\frac1x\times x-1\times\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}=\frac{\ln\frac ex}{x^2}$이다. 무리수 $\displaystyle e=2.72$이므로, $\displaystyle x\ge3$일 때 $\displaystyle \frac ex<1$이고, $\displaystyle \ln\frac ex<0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이다.

따라서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x\ge3$에서 감소하고, $\displaystyle x\ge3$인 모든 실수에 대하여 $\displaystyle f(x)>f(x+1)$이다. 따라서$\displaystyle \frac{\ln x}x>\frac{\ln(x+1)}{x+1}$이다.