자연계열 1번

<가>● 자연수 $\displaystyle n$에 대한 명제 $\displaystyle p(n)$이 모든 자연수에서 성립한다는 것은 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 수 있다. 수학적 귀납법을 이용하여 다음 명제를 증명해보자.㉠ $\displaystyle n\ge3$인 모든 자연수에 대하여$\displaystyle n\ln n>(n-1)\ln(n+1)$이다.먼저 $\displaystyle n=3$일 때를 생각하면,$\displaystyle \text{(좌변)}=3\ln3=\ln3^3=\ln27,\quad\text{(우변)}=2\ln4=\ln4^2=\ln16$이다. 따라서 $\displaystyle n=3$일 때 주어진 부등식이 성립한다.$\displaystyle n=k$ ($\displaystyle k\ge3$)일 때 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면$\displaystyle k\ln k>(k-1)\ln(k+1)$이다. $\displaystyle n=k+1$일 때를 생각하면,$\displaystyle \begin{aligned}(k+1)\ln(k+1)&=(k+1)\ln(k+1)-k\ln k+k\ln k\\&>(k+1)\ln(k+1)-k\ln k+(k-1)\ln(k+1)\\&=2k\ln(k+1)-k\ln k=k\ln\frac{(k+1)^2}k=k\ln\left(k+2+\frac1k\right)\\&>k\ln(k+2)\end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle (k+1)\ln(k+1)>k\ln(k+2)$이므로, $\displaystyle n=k+1$일 때도 성립한다.● 함수 $\displaystyle f(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에서 미분가능할 때, $\displaystyle (a,b)$의 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이면 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle [a,b]$에서 증가하고, $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이면 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle [a,b]$에서 감소한다.$\displaystyle x\ge1$인 모든 실수에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)=x\ln x$는 증가함을 보이자. $\displaystyle f(x)$의 도함수는$\displaystyle f^{\prime}(x)=\ln x+x\times\frac1x=\ln x+1$이다. 한편 $\displaystyle x\ge1$일 때, $\displaystyle \ln x+1\ge1>0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x\ge1$에서 증가한다.