자연계열 2번

■ 2-1주어진 삼차함수 $\displaystyle g(x)$의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)=-12(x+1)(x-2)$이다. 그리고 “정적분과 미분의 관계”를 이용하여 주어진 등식 ①을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle g(x)+g^{\prime}(x)=g(x)+xg^{\prime}(x)+f^{\prime}(x)$이고, 양변을 정리하면$\displaystyle (1-x)g^{\prime}(x)=12(x+1)(x-1)(x-2)=f^{\prime}(x)$이다. 한편 등식 ①에서 $\displaystyle x=0$을 대입하면 $\displaystyle f(0)=-c$임을 알 수 있다. 다항함수 $\displaystyle f(x)$의 도함수$\displaystyle f^{\prime}(x)=12(x+1)(x-1)(x-2)$이므로,$\displaystyle f(x)=3x^4-8x^3-6x^2+24x-c$이다. 따라서, 방정식 $\displaystyle f(x)=3x^4-8x^3-6x^2+24x-c=0$의 실근의 개수는 두 함수$\displaystyle y=3x^4-8x^3-6x^2+24x,\ y=c$의 그래프의 교점의 개수와 같다.$\displaystyle h(x)=3x^4-8x^3-6x^2+24x$라고 하면$\displaystyle h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)=12(x+1)(x-1)(x-2)$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(x)=0$으로부터 $\displaystyle x=-1$, $\displaystyle x=1$, 또는 $\displaystyle x=2$이다. $\displaystyle h^{\prime}(x)$의 부호를 조사하여 함수 $\displaystyle h(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내고, 그 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다.

따라서 주어진 방정식이 서로 다른 세 실근을 갖기 위한 실수 $\displaystyle c=h(2)=8$ 또는 $\displaystyle c=h(1)=13$이다.

■ 2-2문제 2-1의 풀이로부터 함수 $\displaystyle f(x)=3x^4-8x^3-6x^2+24x-c$는 $\displaystyle x=-1,1,2$에서 극값을 가지며 각각의 극값은 $\displaystyle f(-1)=-19-c$, $\displaystyle f(1)=13-c$, $\displaystyle f(2)=8-c$이다. 이때, 실수 $\displaystyle c$의 값의 범위가 $\displaystyle -19<c<8$이므로 부등식$\displaystyle f(-1)<0<f(2)<f(1)$을 만족시킨다. 또한, 함수 $\displaystyle |f(x)|$는 $\displaystyle f(x)=0$을 만족시키는 $\displaystyle x$에서 극솟값을 갖는다. 따라서 실수 $\displaystyle c$의 값에 따라 함수 $\displaystyle |f(x)|$의 서로 다른 극값의 개수가 3이 되게 하는 경우는 2가지밖에 없다. (아래 그림 참조)

경우 1. $\displaystyle |f(-1)|=f(2)$이 경우에는 함수 $\displaystyle f(x)$의 가장 작은 극솟값인 $\displaystyle f(-1)$의 절댓값이 함수 $\displaystyle f(x)$의 두번째로 작은 극솟값인 $\displaystyle f(2)$와 같아진다. 이때, $\displaystyle |f(-1)|=f(2)$을 만족시키는 실수 $\displaystyle c=-\frac{11}2$이다.

경우 2. $\displaystyle |f(-1)|=f(1)$이 경우에는 함수 $\displaystyle f(x)$의 가장 작은 극솟값인 $\displaystyle f(-1)$의 절댓값이 함수 $\displaystyle f(x)$의 극댓값인 $\displaystyle f(1)$과 같아진다. 이때, $\displaystyle |f(-1)|=f(1)$을 만족시키는 실수 $\displaystyle c=-3$이다.