자연계열 2번

<나>함수 $\displaystyle f(x)$에서 $\displaystyle x=a$를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)\le f(a)$이면 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 극대라고 하며, 그때의 함숫값 $\displaystyle f(a)$를 극댓값이라고 한다.함수 $\displaystyle f(x)$에서 $\displaystyle x=b$를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)\ge f(b)$이면 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=b$에서 극소라고 하며, 그때의 함숫값 $\displaystyle f(b)$를 극솟값이라고 한다. 이때, 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라고 한다. 함수 $\displaystyle f(x)$가 미분가능할 때, 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호를 이용하여 극값을 판정할 수 있다. 예를 들면, 사차함수 $\displaystyle f(x)=x^4-2x^2$은 도함수가$\displaystyle f^{\prime}(x)=4x(x+1)(x-1)$이므로, $\displaystyle x=0$에서 극대이고, 극댓값은 $\displaystyle f(0)=0$, 그리고 $\displaystyle x=-1$, $\displaystyle x=1$에서 극소이고, 극솟값은$\displaystyle f(-1)=f(1)=-1$이다. 이 경우 함수 $\displaystyle f(x)$의 극값은 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle -1$이므로 서로 다른 극값의 개수는 2이다.이제 삼차함수$\displaystyle g(x)=2x^3+3x^2-12x-c$에 대하여, 실수 $\displaystyle c$의 값의 범위가 $\displaystyle -7<c<20$일 때, 함수 $\displaystyle |g(x)|$의 서로 다른 극값의 개수가 2가 되게 하는 실수 $\displaystyle c$의 값을 구해보자. 함수 $\displaystyle g(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 도함수는$\displaystyle g^{\prime}(x)=6(x+2)(x-1)$이다.함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=-2$, $\displaystyle x=1$에서 각각 극댓값 $\displaystyle g(-2)=20-c$, 극솟값 $\displaystyle g(1)=-7-c$를 갖는다.이때, 실수 $\displaystyle c$의 값의 범위가 $\displaystyle -7<c<20$이므로 $\displaystyle g(-2)>0$이고 $\displaystyle g(1)<0$이다.이제 함수 $\displaystyle |g(x)|$의 극대와 극소를 조사해보자. $\displaystyle x=-2$를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle |g(x)|\le|g(-2)|$이고, $\displaystyle x=1$을 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle |g(x)|\le|g(1)|$이므로, 함수 $\displaystyle |g(x)|$는 $\displaystyle x=-2$에서 극댓값,$\displaystyle |g(-2)|=|20-c|=20-c,$$\displaystyle x=1$에서 극댓값,$\displaystyle |g(1)|=|-7-c|=7+c$를 갖는다. 또한, 함수 $\displaystyle |g(x)|$는 $\displaystyle g(x)=0$을 만족시키는 $\displaystyle x$에서 극솟값을 갖는다.한편$\displaystyle |g(-2)|\ne0,\ |g(1)|\ne0$이므로 함수 $\displaystyle |g(x)|$의 서로 다른 극값의 개수가 2인 경우는 $\displaystyle |g(-2)|=|g(1)|$밖에 없다. 이때, 이를 만족시키는 실수 $\displaystyle c$의 값은 $\displaystyle \frac{13}2$이다. <그림 1>과 <그림 2>는 $\displaystyle c=\frac{13}2$일 때, $\displaystyle y=g(x)$의 그래프와 $\displaystyle y=|g(x)|$의 그래프를 각각 그린 것이다.