자연계열 1번

■ 1-1닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$가 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)<0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에서 미분 가능하다. 또한 $\displaystyle f(a)=f(b)=0$이므로 <롤의 정리>에 의하여 $\displaystyle f^{\prime}(c)=0$인 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에 적어도 하나 존재한다.

그런데 함수 $\displaystyle f(x)$가 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)<0$이므로 이 구간에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 감소한다. 따라서 $\displaystyle f^{\prime}(c)=0$을 만족시키는 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에서 오직 하나만 존재한다. 한편 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 감소하고 $\displaystyle f^{\prime}(c)=0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$의 증감은 다음과 같다.(i) 열린구간 $\displaystyle (a,c)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 이 구간에서 증가한다.(ii) 열린구간 $\displaystyle (c,b)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 이 구간에서 감소한다.또한 $\displaystyle f(a)=0$이므로 (i)에 의하여 열린구간 $\displaystyle (a,c)$에서 $\displaystyle f(x)>0$이고, $\displaystyle f(b)=0$이므로 (ii)에 의하여 열린구간 $\displaystyle (c,b)$에서 $\displaystyle f(x)>0$이다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이므로 이 구간에서 $\displaystyle f(x)\ge0$이다.

■ 1-2실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$에 대하여, 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 두 점 $\displaystyle (a,f(a))$와 $\displaystyle (b,f(b))$를 지나는 일차함수 $\displaystyle h(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)$ 의 그래프를 생각하자.이때, 함수 $\displaystyle F(x)=f(x)-h(x)$는 $\displaystyle F(a)=0$, $\displaystyle F(b)=0$을 만족시킨다.열린구간 $\displaystyle (a,b)$에서 $\displaystyle F^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime}(x)-h^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime}(x)<0$ 이므로명제 ①에 의하여 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 $\displaystyle F(x)\ge0$이다.

따라서 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 $\displaystyle \int_a^bF(x)\,dx=\int_a^b\{f(x)-h(x)\}\,dx=\int_a^bf(x)\,dx-\int_a^bh(x)\,dx\ge0$ 이므로$\displaystyle \int_a^bh(x)\,dx\le\int_a^bf(x)\,dx$이다.한편 $\displaystyle \begin{aligned}\int_a^bh(x)\,dx&=\int_a^b\left\{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)\right\}\,dx\\&=\Biggl[\frac12\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x^2-a\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x+f(a)x\Biggr]_a^b=\frac12(b-a)\{f(a)+f(b)\}\end{aligned}$이고, $\displaystyle (b-a)\{f(a)+f(b)\}\le2\int_a^bf(x)\,dx$ 이다.