자연계열 1번

<가>● 함수 $\displaystyle f(x)$가 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)<0$이면 그 구간에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 감소한다. 이때,1) 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에 속하는 어떤 실수 $\displaystyle c_1$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(c_1)>0$이면, 열린구간 $\displaystyle (a,c_1)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 열린구간 $\displaystyle (a,c_1)$에서 증가한다.2) 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에 속하는 어떤 실수 $\displaystyle c_2$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(c_2)<0$이면, 열린구간 $\displaystyle (c_2,b)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 열린구간 $\displaystyle (c_2,b)$에서 감소한다.● <롤의 정리>함수 $\displaystyle f(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에서 미분가능할 때, $\displaystyle f(a)=f(b)$이면 $\displaystyle f^{\prime}(c)=0$인 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에 적어도 하나 존재한다.

<나>① 함수 $\displaystyle f(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이고, $\displaystyle f(a)=0$, $\displaystyle f(b)=0$을 만족시킬 때,열린구간 $\displaystyle (a,b)$에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)<0$이면, 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 $\displaystyle f(x)\ge0$이다.● 함수 $\displaystyle g(x)=\sqrt x$, $\displaystyle h(x)=x$에 대하여, 부등식$\displaystyle \int_0^1h(x)\,dx\le\int_0^1g(x)\,dx\quad\cdots\cdots\quad(1)$가 성립함을 보이자.함수 $\displaystyle F(x)=g(x)-h(x)$는 $\displaystyle F(0)=0$, $\displaystyle F(1)=0$이고,열린구간 $\displaystyle (0,1)$에서 $\displaystyle F^{\prime\prime}(x)=-\frac1{4x\sqrt x}<0$이다.그러면 명제 ①에 의하여 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle F(x)\ge0$이므로이 구간에서 $\displaystyle h(x)\le g(x)$이고 부등식 (1)이 성립한다.