자연계열 3번

■ 3-1$\displaystyle b$가 자연수일 때, 삼차함수 $\displaystyle g(x)=x(x-1)(x-b)=x^3-(b+1)x^2+bx$ 에 대하여$\displaystyle g^{\prime}(x)=3x^2-2(b+1)x+b$ 이다.이차방정식 $\displaystyle g^{\prime}(x)=0$의 두 근을 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$라 하면 <이차방정식의 근과 계수의 관계>에 의해$\displaystyle \alpha+\beta=\frac23(b+1),\ \alpha\beta=\frac b3\quad\cdots\cdots\quad(1)$이다.

$\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$가 모두 정수라 가정하면, $\displaystyle b$가 자연수이므로 (1)에 의해 $\displaystyle \alpha+\beta$, $\displaystyle \alpha\beta$는 자연수이며,$\displaystyle 2(b+1)=3(\alpha+\beta)\quad\cdots\cdots\quad(2)$$\displaystyle b=3\alpha\beta\quad\cdots\cdots\quad(3)$이다.$\displaystyle 3$은 $\displaystyle 2$와 서로소이므로 (2)에 의해 $\displaystyle b+1$은 $\displaystyle 3$의 배수이고, (3)에 의해 $\displaystyle b$는 $\displaystyle 3$의 배수이다.이는 모순이므로 방정식 $\displaystyle g^{\prime}(x)=0$의 두 근이 동시에 정수가 될 수 없다.

■ 3-2이차함수 $\displaystyle F(x)=a(x-r)(x-s)$에 대해 $\displaystyle F^{\prime}(x)=a(2x-r-s)$이다.이차방정식 $\displaystyle F(x)=0$의 두 근 $\displaystyle r$, $\displaystyle s$가 유리수이면, 방정식 $\displaystyle F^{\prime}(x)=0$의 근 $\displaystyle \frac{r+s}2$는 유리수이다.

$\displaystyle u=1$일 때, 제시문 <바>에 있는 식 (6)은 $\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{1+3v^2}}3$이다.

(i) $\displaystyle v=1$이면 $\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{1+3v^2}}3=\frac{1\pm 2}3$이므로, 제시문 <바>에 있는 $\displaystyle t$에 대한 방정식 (5)의 두 근은 유리수가 된다.그런데 제시문 <바>에 있는 (3)에서 $\displaystyle x=t-\frac12$이므로, 이차방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 두 근은 유리수가 된다.한편, 제시문 <바>에 있는 (3)에 의해 $\displaystyle 1=b+\frac12$, $\displaystyle 1=\frac{1-4a}4$이므로 $\displaystyle a=-\frac{3}4$, $\displaystyle b=\frac12$이다.따라서 $\displaystyle v=1$에 대응하는 $\displaystyle f(x)=0$, $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 모든 근이 유리수가 되게 하는 삼차함수는 $\displaystyle f(x)=\left(x^2+x-\frac{3}4\right)\left(x-\frac12\right)$ 이다.이때, 명제 ②에 의해 방정식 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=0$의 근도 유리수이다.

(ii) $\displaystyle v=2$이면 $\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{1+3v^2}}3=\frac{1\pm \sqrt{13}}3$이므로, 제시문 <바>에 있는 $\displaystyle t$에 대한 방정식 (5)의 두 근은 무리수가 된다.그런데 제시문 <바>에 있는 (3)에서 $\displaystyle x=t-\frac12$이므로, 이차방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 두 근은 무리수가 된다.따라서 $\displaystyle v=2$에 대응하는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 모든 근이 유리수가 되게 하는 삼차함수 $\displaystyle f(x)=(x^2+x+a)(x-b)$ 는 존재하지 않는다.

(iii) $\displaystyle v=3$이면 $\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{1+3v^2}}3=\frac{1\pm 2\sqrt7}3$이므로, 제시문 <바>에 있는 $\displaystyle t$에 대한 방정식 (5)의 두 근은 무리수가 된다.그런데 제시문 <바>에 있는 (3)에서 $\displaystyle x=t-\frac12$이므로, 이차방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 두 근은 무리수가 된다.따라서 $\displaystyle v=3$에 대응하는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 모든 근이 유리수가 되게 하는 삼차함수 $\displaystyle f(x)=(x^2+x+a)(x-b)$ 는 존재하지 않는다.

(iv) $\displaystyle v=4$이면 $\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{1+3v^2}}3=\frac{1\pm 7}3$이므로, 제시문 <바>에 있는 $\displaystyle t$에 대한 방정식 (5)의 두 근은 유리수가 된다.그런데 제시문 <바>에 있는 (3)에서 $\displaystyle x=t-\frac12$이므로, 이차방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 두 근은 유리수가 된다.한편, 제시문 <바>에 있는 (3)에 의해 $\displaystyle 1=b+\frac12$, $\displaystyle 16=\frac{1-4a}4$이므로 $\displaystyle a=-\frac{63}4$, $\displaystyle b=\frac12$이다.따라서 $\displaystyle v=4$에 대응하는 $\displaystyle f(x)=0$, $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 모든 근이 유리수가 되게 하는 삼차함수는 $\displaystyle f(x)=\left(x^2+x-\frac{63}4\right)\left(x-\frac12\right)$ 이다. 이때 명제 ②에 의해 방정식 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=0$의 근도 유리수이다.