자연계열 2번

<다>함수 $\displaystyle y=f(x)$의 정의역에 속하는 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x+p)=f(x)$를 만족시키는 $\displaystyle 0$이 아닌 상수 $\displaystyle p$가 존재할 때, 함수 $\displaystyle y=f(x)$를 주기함수라 하고 상수 $\displaystyle p$ 중에서 최소인 양수를 그 함수의 주기라고 한다.두 주기함수의 곱의 정적분을 생각해보자.예를 들어, 연속함수 $\displaystyle G(x)$가 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle G(x+\pi)=G(x)$를 만족시킬 때,임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a=\int_0^{2\pi}G(x)\sin x\,dx$, $\displaystyle b=\int_{2n\pi}^{2(n+1)\pi}G(x)\sin x\,dx$ 라 하면,$\displaystyle a=b=0$임을 다음과 같이 보일 수 있다.$\displaystyle x-2n\pi=t$로 놓으면, $\displaystyle \frac{dx}{dt}=1$이고, $\displaystyle b=\int_0^{2\pi}G(t+2n\pi)\sin(t+2n\pi)\,dt=\int_0^{2\pi}G(t)\sin t\,dt=a$이다.이제 정적분의 성질을 이용하여 적분 구간을 나누면$\displaystyle a=\int_0^{2\pi}G(x)\sin x\,dx=\int_0^\pi G(x)\sin x\,dx+\int_\pi^{2\pi}G(x)\sin x\,dx\quad\cdots\cdots\quad(1)$이다.이때, $\displaystyle \int_\pi^{2\pi}G(x)\sin x\,dx$의 값을 구하기 위해, $\displaystyle x-\pi=u$로 놓으면 $\displaystyle \frac{dx}{du}=1$ 이고$\displaystyle \int_\pi^{2\pi}G(x)\sin x\,dx=\int_0^\pi G(u+\pi)\sin(u+\pi)\,du=-\int_0^\pi G(u)\sin u\,du$ 이다.따라서 (1)에 의하여 $\displaystyle a=0$이다.

<라>$\displaystyle \int_{-1}^1\frac1{e^x+1}\,dx$의 값을 생각해보자.$\displaystyle \int_{-1}^1\frac1{e^x+1}\,dx=\int_{-1}^1\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\,dx=-\Biggl[\ln(1+e^{-x})\Biggr]_{-1}^1=-\ln\frac{1+e^{-1}}{1+e}=1$ 이다.한편, $\displaystyle \int_{-1}^1\frac1{e^x+1}\,dx=\int_{-1}^1\frac{e^x}{e^x+1}\,dx$ 이다.