자연계열 2번

■ 2-1정적분 $\displaystyle \int_{2n}^{2(n+1)}g(x)h(x)\,dx$ 에서 $\displaystyle x-2n=t$로 놓으면, $\displaystyle \frac{dx}{dt}=1$이고$\displaystyle \int_{2n}^{2(n+1)}g(x)h(x)\,dx=\int_0^2g(t+2n)h(t+2n)\,dt=\int_0^2g(t)h(t)\,dt=A$ 이다.

이제 정적분의 성질을 이용하여 적분 구간을 나누면$\displaystyle A=\int_0^2g(x)h(x)\,dx=\int_0^1xg(x)\,dx+\int_1^2(2-x)g(x)\,dx\quad\cdots\cdots\quad(1)$이다. 이때 $\displaystyle \int_1^2(2-x)g(x)\,dx$의 값을 구하기 위해, $\displaystyle x-1=t$로 놓으면, $\displaystyle \frac{dx}{dt}=1$이고$\displaystyle \int_1^2(2-x)g(x)\,dx=\int_0^1(1-t)g(t+1)\,dt=\int_0^1(1-t)g(t)\,dt$ 이다.따라서 (1)에 의하여 $\displaystyle A=\int_0^2g(x)h(x)\,dx=\int_0^1xg(x)\,dx+\int_0^1(1-x)g(x)\,dx=\int_0^1g(x)\,dx$ 이다.

■ 2-2정적분 $\displaystyle \int_{-1}^1\frac1{\{f(x)\}^4+1}\,dx$에서 $\displaystyle f(x)=\frac1{f(-x)}$이므로$\displaystyle \int_{-1}^1\frac1{\{f(x)\}^4+1}\,dx=\int_{-1}^1\frac1{\left\{\frac1{f(-x)}\right\}^4+1}\,dx=\int_{-1}^1\frac{\{f(-x)\}^4}{\{f(-x)\}^4+1}\,dx$ 이다.$\displaystyle -x=t$로 놓으면, $\displaystyle \frac{dx}{dt}=-1$이고$\displaystyle \int_{-1}^1\frac{\{f(-x)\}^4}{\{f(-x)\}^4+1}\,dx=-\int_1^{-1}\frac{\{f(t)\}^4}{\{f(t)\}^4+1}\,dt=\int_{-1}^1\frac{\{f(t)\}^4}{\{f(t)\}^4+1}\,dt$ 이다.

따라서 $\displaystyle \int_{-1}^1\frac1{\{f(x)\}^4+1}\,dx=\int_{-1}^1\frac{\{f(x)\}^4}{\{f(x)\}^4+1}\,dx\quad\cdots\cdots\quad(2)$이고, $\displaystyle \int_{-1}^1\left[\frac1{\{f(x)\}^4+1}+\frac{\{f(x)\}^4}{\{f(x)\}^4+1}\right]\,dx=\int_{-1}^1\frac{\{f(x)\}^4+1}{\{f(x)\}^4+1}\,dx=2$ 이다.(2)에 의하여 $\displaystyle \int_{-1}^1\frac1{\{f(x)\}^4+1}\,dx=1$ 이다.