자연계열 1번

문제 1-A

(1) $\displaystyle x$년 동안 장비를 사용한다고 할 때 초기투자비는 20이므로 연평균 초기투자비 $\displaystyle I(x)=\frac{20}x$ ($\displaystyle x>0$)이다.$\displaystyle x$년 동안 발생하는 운영유지비는 $\displaystyle \int_0^x f(t)dt$이므로,i) $\displaystyle 0<x\le2$일 때, $\displaystyle x$년 동안의 운영유지비는 $\displaystyle \int_0^x6t\,dt=3x^2$이다.따라서 연평균 운영유지비 $\displaystyle M(x)=\frac{3x^2}x=3x$이다.ii) $\displaystyle x>2$일 때, $\displaystyle x$년 동안의 운영유지비는$\displaystyle \int_0^26t\,dt+\int_2^x3t^2=12+x^3-8=x^3+4$이다.따라서 연평균 운영유지비 $\displaystyle M(x)=\frac{x^3+4}x=x^2+\frac4x$이다.i, ii)에서 연평균 운영유지비 $\displaystyle M(x)=\begin{cases}3x,&0<x\le2\\x^2+\frac4x,&x>2\end{cases}$연평균 총비용은 $\displaystyle S(x)=I(x)+M(x)$이므로 $\displaystyle S(x)=\begin{cases}\frac{20}x+3x,&0<x\le2\\\frac{24}x+x^2,&x>2\end{cases}$

(2) 미분계수의 정의 $\displaystyle S^{\prime}(2)=\lim_{h\to0}\frac{S(2+h)-S(2)}h$에 의해 미분가능성을 조사한다.위에서 좌극한을 구하면$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{h\to-0}\frac{S(2+h)-S(2)}h&=\lim_{h\to-0}\frac{\frac{20}{2+h}+3(2+h)-16}h\\&=\lim_{h\to-0}\frac{-4+3h}{2+h}=-2\end{aligned}$우극한을 구하면$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{h\to+0}\frac{S(2+h)-S(2)}h&=\lim_{h\to+0}\frac{\frac{24}{2+h}+(2+h)^2-16}h\\&=\lim_{h\to+0}\frac{-4+6h+h^2}{2+h}=-2\end{aligned}$좌극한과 우극한이 일치하므로 극한이 존재하여 함수 $\displaystyle S(x)$는 $\displaystyle x=2$에서 미분가능하다.

(3) $\displaystyle S(x)=\begin{cases}\frac{20}x+3x,&0<x\le2\\\frac{24}x+x^2,&x>2\end{cases}$i) $\displaystyle 0<x\le2$일 때, 함수 $\displaystyle S(x)$의 극값을 구하면$\displaystyle S^{\prime}(x)=-\frac{20}{x^2}+3=0$에서 $\displaystyle x=\pm\sqrt{\frac{20}3}$$\displaystyle \sqrt{\frac{20}3}>2$이므로 $\displaystyle 0<x\le2$에서는 극값은 없으며, $\displaystyle S^{\prime}(x)<0$이므로 이 구간에서 $\displaystyle S(x)$는 감소한다.ii) $\displaystyle x>2$일 때, 함수 $\displaystyle S(x)$의 극값을 구하면$\displaystyle S^{\prime}(x)=-\frac{24}{x^2}+2x=0$에서 $\displaystyle x=\sqrt[3]{12}>2$함수 $\displaystyle S(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.| $\displaystyle x$ | $\displaystyle \cdots$ | $\displaystyle \sqrt[3]{12}$ | $\displaystyle \cdots$ || :---: | :---: | :---: | :---: || $\displaystyle S^{\prime}(x)$ | − | 0 | + || $\displaystyle S(x)$ | $\displaystyle \searrow$ | 극솟값 | $\displaystyle \nearrow$ |따라서 $\displaystyle x=\sqrt[3]{12}$일 때 $\displaystyle S(x)$는 극솟값을 가진다.i), ii)에서 이 장비의 경제수명은 $\displaystyle \sqrt[3]{12}$년임을 알 수 있다.

문제 1-B

(1) $\displaystyle f(2)=0$이므로 $\displaystyle g(0)=2$이다. 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (2,0)$에서의 접선과 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 위의 점 $\displaystyle (0,2)$에서의 접선은 직선 $\displaystyle y=x$에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle g^{\prime}(0)=\frac1{f^{\prime}(2)}$이 된다. 이 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\sqrt{3+x^2}$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(0)=\frac1{\sqrt7}$이다.

(2) 시각 $\displaystyle t$를 위치 $\displaystyle s$의 함수로 생각하면 $\displaystyle \frac{dt}{ds}=\frac1{s^2-1}$가 된다. 점 $\displaystyle P$가 $\displaystyle s=3$에 도달하는 시각 $\displaystyle T$를 구하기 위하여 $\displaystyle s=2$부터 $\displaystyle s=3$까지 이 식을 적분하면$\displaystyle \begin{aligned}T=t(3)-t(2)&=\int_2^3\frac{dt}{ds}ds=\int_2^3\frac1{s^2-1}ds\\&=\int_2^3\frac12\left(\frac1{s-1}-\frac1{s+1}\right)ds\\&=\frac12\Biggl[\ln\left(\frac{s-1}{s+1}\right)\Biggr]_2^3=\frac12\ln\frac32\end{aligned}$