자연계열 2번

문제 2-A

(1) 염기를 표현하는 글자는 4가지이므로 이진수 두 자리로 표현할 수 있다(00,01,10,11). 따라서 $\displaystyle 2\times4\times10^9$ 비트 = $\displaystyle 10^9$ 바이트의 저장 공간이 필요하다.

(2) 염기가 4가지이므로 염기 $\displaystyle n$개를 묶으면 $\displaystyle 4^n$개의 조합을 만들 수 있다. 그러므로 $\displaystyle n$이 최소 3이어야 $\displaystyle 4^3=64>20$으로서 아미노산 20개를 표현할 수 있다. 따라서, 아미노산 300개로 이루어진 단백질의 정보를 담으려면 DNA는 최소한 $\displaystyle 300\times3=900$개의 염기로 이루어져 있어야 한다.

문제 2-B

(1) 연립방정식$\displaystyle \frac{[X]}{a[X]+b}-c[R]=0,$$\displaystyle p[R]-q[X]=0$을 푼다. $\displaystyle [R]$을 소거하면$\displaystyle -q[X]+\frac{p[X]}{c(a[X]+b)}=0$을 얻고 이는 다시$\displaystyle acq[X]^2-p[X]+bcq[X]=[X](acq[X]-p+bcq)=0$으로 쓸 수 있다.$\displaystyle [X]=0,\quad\frac{p-bcq}{acq}$이다. 농도는 음수가 될 수 없으므로 $\displaystyle [X]\ge0$인 해만이 의미가 있다. 따라서 두 번째 해는 $\displaystyle p>bcq$일 때에만 의미가 있다.결과를 요약하면,$\displaystyle p\le bcq:\ [X]=0$$\displaystyle p>bcq:\ [X]=0\ \text{or}\ [X]=\frac{p-bcq}{acq}$이다.

(2) 단백질의 합성 속도는 $\displaystyle p[R]$인데, 조건 $\displaystyle \frac{[X]}{a[X]+b}-c[R]=0$에서 $\displaystyle [R]=\frac{[X]}{c(a[X]+b)}$이므로, 단백질의 합성 속도는 $\displaystyle f([X])=\frac{p[X]}{c(a[X]+b)}$이다. 또한 단백질의 분해 속도는 $\displaystyle g([X])=q[X]$이다. 교점이 둘인 경우에 대해 이 두 함수를 그리면 다음과 같다.

(1)에서 구한 풀이는 $\displaystyle f([X])=g([X])$에 해당되는 점이므로, 그림에서 두 그래프가 만나는 두 교점 A, B이다.

(3) 점 B에서 농도를 조금 증가시킬 경우 합성 속도보다 분해 속도가 크므로 농도가 감소하고, 농도를 조금 감소시켰을 경우에는 분해 속도보다 합성 속도가 크므로 농도가 증가한다. 그러므로 점 B에서 농도를 조금 변화시키면 원래 상태인 점 B의 농도로 돌아온다. 즉, 점 B의 정상상태는 안정적이다. 반면 농도를 점 A에서 조금 증가시키면 분해 속도보다 합성 속도가 크므로 점 A에서 벗어나 농도가 계속적으로 증가하므로 안정 상태인 점 B의 농도값으로 접근한다. 따라서 점 A부근과 점 B부근의 농도값에서 출발할 때 모두 B의 농도값 $\displaystyle [X]=\frac{p-bcq}{acq}$로 접근한다.