자연계열 1번

문제 1-A(1) 점 $\displaystyle P(a,b)$를 지나는 기울기가 $\displaystyle m$인 직선, 양의 $\displaystyle x$축, 양의 $\displaystyle y$축이 결정하는 직각삼각형에 대하여, 그 면적을 $\displaystyle S(m)$이라고 하면$\displaystyle S(m)=\frac12\left(a-\frac bm\right)(b-am)=\frac12\left(2ab-a^2m-\frac{b^2}m\right)$이 된다. $\displaystyle S(m)$의 도함수를 구하면$\displaystyle S^{\prime}(m)=\frac12\cdot\frac{(b+am)(b-am)}{m^2}$이다. $\displaystyle a,b$는 양수이고, 기울기 $\displaystyle m$은 음수이므로, $\displaystyle S^{\prime}$의 부호는 $\displaystyle m=-\frac ba$를 기준으로 음에서 양으로 변한다. 따라서 $\displaystyle S(m)$은 $\displaystyle m=-\frac ba$일 때 최소값 $\displaystyle S\left(-\frac ba\right)=2ab$를 갖는다. 그러므로$\displaystyle F(a,b)=S\left(-\frac ba\right)=2ab$이다.

(2) 점 $\displaystyle P(a,b)$가 곡선 $\displaystyle y=2\sqrt{1-\frac{x^2}9}$ 위에 놓이므로, $\displaystyle b=2\sqrt{1-\frac{a^2}9}$이 성립한다. 이를 문항 (1)에서 얻은 $\displaystyle F(a,b)$의 식에 대입하면$\displaystyle G(a)=F\left(a,2\sqrt{1-a^2/9}\right)=\frac43a\sqrt{9-a^2},\quad(0<a<3)$를 얻는다. $\displaystyle G(a)$의 도함수를 구하면$\displaystyle G^{\prime}(a)=\frac43\sqrt{9-a^2}-\frac43a\frac a{\sqrt{9-a^2}}=\frac4{3\sqrt{9-a^2}}(9-2a^2)$이다. 열린 구간 $\displaystyle (0,3)$에서 도함수 $\displaystyle G^{\prime}(a)$의 부호가 $\displaystyle a=\frac{3\sqrt2}2$를 기준으로 양에서 음으로 변하므로, $\displaystyle G(a)$는 $\displaystyle a=\frac{3\sqrt2}2$에서 최댓값을 갖는다. 따라서 $\displaystyle F(a,b)$는 점 $\displaystyle P\left(\frac{3\sqrt2}2,\sqrt2\right)$에서 최댓값 6을 갖는다.

문제 1-B(1) 점 A의 속도벡터 $\displaystyle \vec a$는 $\displaystyle (4,-5,2)$와 평행한 벡터 중에서 크기가 $\displaystyle 3\sqrt5$이고 $\displaystyle x$성분이 음수인 벡터이므로, $\displaystyle \vec a=(-4,5,-2)$이다. 또한 점 B의 속도벡터 $\displaystyle \vec b$는 $\displaystyle (1,1,-1)$과 평행한 벡터 중에서 크기가 $\displaystyle \sqrt3$이고 $\displaystyle x$성분이 음수인 벡터이므로, $\displaystyle \vec b=(-1,-1,1)$이다.점 A의 출발점은 $\displaystyle (4,-6,5)$이고 그 속도는 $\displaystyle \vec a=(-4,5,-2)$이므로, 시각 $\displaystyle t$에서의 점 A의 위치는$\displaystyle (4,-6,5)+t(-4,5,-2)=(-4t+4,5t-6,-2t+5)$이다. 또한, 점 B의 출발점은 $\displaystyle (-1,-1,8)$이고 그 속도는 $\displaystyle \vec b=(-1,-1,1)$이므로, 시각 $\displaystyle t$에서의 점 B의 위치는$\displaystyle (-1,-1,8)+t(-1,-1,1)=(-t-1,-t-1,t+8)$이다. 따라서 시각 $\displaystyle t$에서의 두 점 A, B 사이의 거리는$\displaystyle d(t)=\sqrt{(3t-5)^2+(-6t+5)^2+(3t+3)^2}$으로 주어진다. 위 식을 정리하면$\displaystyle d(t)=\sqrt{54t^2-72t+59}=\sqrt{6(3t-2)^2+35}$이다. 따라서 $\displaystyle t=\frac23$일 때, 즉 $\displaystyle \frac23$시간 후 두 점 A, B 사이의 거리가 가장 가까워진다.

(2) $\displaystyle L$의 방향벡터를 $\displaystyle \vec v=(a,b,c)$라고 하자. 벡터 $\displaystyle \vec v$는 $\displaystyle L_1$의 방향벡터 $\displaystyle \vec v_1=(4,-5,2)$과 $\displaystyle L_2$의 방향벡터 $\displaystyle \vec v_2=(-1,-1,1)$과 모두 수직이므로, $\displaystyle \vec v\cdot\vec v_1=0$과 $\displaystyle \vec v\cdot\vec v_2=0$이 성립한다. 이로부터 일차연립방정식$\displaystyle \begin{cases}4a-5b+2c=0\\a+b-c=0\end{cases}$을 얻고, 이를 계산하여 $\displaystyle b=2a$, $\displaystyle c=3a$이 된다. 따라서 직선 $\displaystyle L$은 $\displaystyle \vec v=(1,2,3)$와 평행이다.$\displaystyle P_1,P_2$는 각각 $\displaystyle L_1,L_2$ 위의 점이므로, 다음과 같이 표현할 수 있다.$\displaystyle P_1=(4t+4,-5t-6,2t+5),\quad P_2=(s-1,s-1,-s+8)$이때 직선 $\displaystyle L$은 $\displaystyle \overrightarrow{P_1P_2}$와 평행이므로, 어떤 실수 $\displaystyle k$에 대하여$\displaystyle (-4t+s-5,5t+s+5,-2t-s+3)=k(1,2,3)$이 성립한다. 위 식을 계산하면 $\displaystyle t=-1$과 $\displaystyle s=2$가 되므로,$\displaystyle P_1=(0,-1,3),\quad P_2=(1,1,6)$을 얻는다.

(3) 직선 $\displaystyle L_1$위의 점 $\displaystyle Q_1$과 $\displaystyle L_2$ 위의 점 $\displaystyle Q_2$에 대하여, 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{Q_1Q_2}$를$\displaystyle \overrightarrow{Q_1Q_2}=\overrightarrow{Q_1P_1}+\overrightarrow{P_1P_2}+\overrightarrow{P_2Q_2}$로 쓸 수 있다. 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{Q_1P_1}$과 $\displaystyle \overrightarrow{Q_2P_2}$가 모두 $\displaystyle \overrightarrow{P_1P_2}$와 수직이 됨을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}|\overrightarrow{Q_1Q_2}|^2&=\overrightarrow{Q_1Q_2}\cdot\overrightarrow{Q_1Q_2}=(\overrightarrow{Q_1P_1}+\overrightarrow{P_1P_2}+\overrightarrow{P_2Q_2})\cdot(\overrightarrow{Q_1P_1}+\overrightarrow{P_1P_2}+\overrightarrow{P_2Q_2})\\&=(\overrightarrow{Q_1P_1}+\overrightarrow{P_2Q_2})\cdot(\overrightarrow{Q_1P_1}+\overrightarrow{P_2Q_2})+\overrightarrow{P_1P_2}\cdot\overrightarrow{P_1P_2}\\&=|\overrightarrow{Q_1P_1}+\overrightarrow{P_2Q_2}|^2+|\overrightarrow{P_1P_2}|^2\\&\ge|\overrightarrow{P_1P_2}|^2\end{aligned}$을 얻는다. 따라서$\displaystyle |\overrightarrow{Q_1Q_2}|\ge|\overrightarrow{P_1P_2}|$가 성립한다.