자연계열 2번

문제 2-A(1) 제시문에 따라 허블 상수의 역수가 우주의 나이가 된다. 논제에서 주어진 데이터를 활용하여 허블 상수의 역수를 다음과 같이 계산한다.$\displaystyle 1/H=r/v=\frac{320\text{만광년}}{70\ \mathrm{km/s}}=\frac{320\times10^4\text{년}\times3\times10^5\ \mathrm{km/s}}{70\ \mathrm{km/s}}\sim137\text{억년}$

(2) 1) 벡터 이용(거리와 속도를 벡터로 고려. 벡터 표시는 하지 않음)$\displaystyle v_{AB}=v_{OB}-v_{OA}$이고, $\displaystyle r_{AB}=r_{OB}-r_{OA}$이다.따라서 $\displaystyle v_{AB}=v_{OB}-v_{OA}=H\times r_{OB}-H\times r_{OA}=H\times(r_{OB}-r_{OA})=H\times r_{AB}$가 된다.2) (닮은꼴 이용) 속도를 그림으로 표현하면, 다음과 같다.

$\displaystyle v_{OA}$와 $\displaystyle v_{OB}$가 각각 $\displaystyle r_{OA}$와 $\displaystyle r_{OB}$의 크기에 비례한다. 은하의 위치를 나타내는 삼각형과 은하의 속도를 나타내는 삼각형에 대해 SAS 닮음 조건을 만족하므로 두 삼각형은 닮은꼴이 되고, 닮음비는 허블 상수이다. 따라서 $\displaystyle v_{AB}$의 크기는 $\displaystyle r_{AB}$에 비례하여, 허블 법칙 $\displaystyle v_{AB}=H\times r_{AB}$를 만족한다.3) 은하 A, B가 은하 O와의 거리에 비례하여 후퇴함에 따라 커지는 은하의 위치 삼각형에서 $\displaystyle \theta_1$과 $\displaystyle \theta_2$는 변하지 않는다. 따라서, $\displaystyle v_{AB}$를 구해보면,

$\displaystyle r_{AB}=r_{OA}\cos\theta_1+r_{OB}\cos\theta_2$$\displaystyle \begin{aligned}v_{AB}&=\frac{dr_{AB}}{dt}=\frac{dr_{OA}}{dt}\times\cos\theta_1+\frac{dr_{OB}}{dt}\times\cos\theta_2\\&=v_{OA}\cos\theta_1+v_{OB}\cos\theta_2\\&=H\times r_{OA}\cos\theta_1+H\times r_{OB}\cos\theta_2\\&=H\times(r_{OA}\cos\theta_1+r_{OB}\cos\theta_2)\\&=H\times r_{AB}\end{aligned}$그러므로, $\displaystyle v_{AB}$에 대해 허블 법칙이 만족된다.

문제 2-B1) 산 용액에서 총 $\displaystyle [\mathrm{H^+}]$은 산의 해리로 생성된 것과 물의 자동 이온화로 생성된 양의 합이다.$\displaystyle [\mathrm{H^+}]_{\text{총}}=[\mathrm{H^+}]_{\text{산}}+[\mathrm{H^+}]_{\text{물}}=1.0\times10^{-7}+x$$\displaystyle \mathrm{OH^-}$은 물의 자동 이온화로 생성되므로,$\displaystyle [\mathrm{OH^-}]_{\text{총}}=[\mathrm{OH^-}]_{\text{물}}=[\mathrm{H^+}]_{\text{물}}=x$물의 이온곱 상수는 일정하므로,$\displaystyle K_w=[\mathrm{H^+}]_{\text{총}}[\mathrm{OH^-}]_{\text{총}}=(1.0\times10^{-7}+x)x=1.0\times10^{-14}$이차 방정식의 풀이를 통해 $\displaystyle x$를 구한다.$\displaystyle x^2+1.0\times10^{-7}x-1.0\times10^{-14}=0$$\displaystyle x=\frac{-1+\sqrt5}2\times10^{-7}\quad(\because x>0)$따라서 $\displaystyle [\mathrm{H^+}]_{\text{총}}=1.0\times10^{-7}+x=\frac{1+\sqrt5}2\times10^{-7}(\mathrm M)$.위 결과로 물의 자동 이온화에 의한 $\displaystyle [\mathrm{H^+}]$을 무시할 수 없음을 알 수 있다.

(2) 처음 0.10 M 염산(HCl) 10.0 mL에 들어 있는 이온의 몰수: $\displaystyle n$$\displaystyle n=n(\mathrm{H^+})+n(\mathrm{Cl^-})=0.10\times10.0\times10^{-3}+0.10\times10.0\times10^{-3}=2.0\times10^{-3}$ 몰 (mole)당량점인 $\displaystyle V=5.0$ mL에서 처음 $\displaystyle \mathrm{H^+}$과 첨가된 $\displaystyle \mathrm{OH^-}$이 같아지므로, $\displaystyle V=5.0$ mL 전후 상황을 다르게 고려한다.1) $\displaystyle V<5.0$ mL첨가한 NaOH은 HCl과 모두 반응, 둘 다 100% 이온화하므로$\displaystyle \mathrm{Na^++OH^-+H^++Cl^-\ \longrightarrow\ H_2O+Na^++Cl^-}$사라지는 $\displaystyle \mathrm{H^+}$만큼 $\displaystyle \mathrm{Na^+}$이 생기므로 전체 이온의 몰 수는 $\displaystyle 2.0\times10^{-3}$ 몰로 일정하다.2) $\displaystyle V\ge5.0$ mLHCl이 모두 반응하였으므로 추가로 들어간 NaOH이 해리되어 용액의 이온 몰 수가 증가한다.$\displaystyle \begin{aligned}n&=2.0\times10^{-3}+2\times(V-5.0)\times0.20\times10^{-3}\\&=2.0\times0.20\times V\times10^{-3}\\&=4.0\times V\times10^{-4}\end{aligned}$ 몰 (mole) (등호가 1의 경우에 있어도 무방함.)이를 그래프로 그리면 다음과 같다. (그림 1)

(3) 총 이온의 농도, $\displaystyle c=$(총 이온 몰 수)/(총 부피)이므로1) $\displaystyle V<5.0$ mL$\displaystyle V_{\text{총}}=10.0+V$$\displaystyle c=\frac{2.0\times0.10\times10.0}{10.0+V}=\frac{2.0}{10.0+V}$2) $\displaystyle V\ge5.0$ mL$\displaystyle c=\frac{4.0\times0.10\times V}{10.0+V}=\frac{0.4\times V}{10.0+V}$　(등호가 1의 경우에 있어도 무방함.) (그림 2 참조)

위 결과로 총 이온의 농도가 최소가 되는 NaOH의 부피는 5.0 mL 이다.(그래프의 개략적인 모양만 사용하거나 위 두 구간의 양 끝점에서의 값을 비교하여 보여도 무방함.)