자연계열 1번

(1) 미사일이 땅에 도달할 때 $\displaystyle y(t)=0$이므로, $\displaystyle (t^2+4a)^{\frac32}=27=3^3$, $\displaystyle (t^2+4a)^3=3^6$으로부터$\displaystyle t^2+4a=9$, $\displaystyle t=\sqrt{9-4a}$임을 알 수 있다. 이 때 $\displaystyle a\le\frac94$이다.속력 $\displaystyle s(t)$는 $\displaystyle \frac{dx}{dt}=2a$, $\displaystyle \frac{dy}{dt}=-t(t^2+4a)^{\frac12}$로부터$\displaystyle s(t)=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}=\sqrt{4a^2+t^4+4at^2}=\sqrt{(t^2+2a)^2}$이다.미사일이 땅에 도달하는 시각 $\displaystyle t=\sqrt{9-4a}$에서의 속력은 $\displaystyle \sqrt{(9-2a)^2}=|9-2a|$인데 $\displaystyle a\le\frac94$이므로 $\displaystyle |9-2a|=9-2a$이고, 따라서 땅에 도달하는 순간의 속력이 $\displaystyle 5$일 때 $\displaystyle a=2$이다.

(2) 미사일이 땅에 도달할 때의 시각은 $\displaystyle a=2$일 때 $\displaystyle \sqrt{9-4\cdot2}=1$이다.따라서 미사일이 움직인 거리는 $\displaystyle \int_0^1s(t)\,dt=\int_0^1(t^2+4)\,dt=\frac13+4=\frac{13}3$이다.