자연계열 3번

임의의 실수 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle z^2=x^2+y^2$으로 정의된 원뿔면과 $\displaystyle z=ax+1$로 정의된 평면의 교집합은 $\displaystyle (ax+1)^2=x^2+y^2$으로 주어진다. 이로부터 이차방정식$\displaystyle (a^2-1)x^2+2ax-y^2+1=0$을 얻고 이 식을 정리하면 $\displaystyle a^2-1=0$일 경우는 $\displaystyle y^2=2ax+1$이 되고, $\displaystyle a^2-1\ne0$이면$\displaystyle (a^2-1)\left(x+\frac a{a^2-1}\right)^2-y^2=\frac1{a^2-1}$이 된다. 그러므로 $\displaystyle z^2=x^2+y^2$으로 정의된 원뿔면과 $\displaystyle z=ax+1$의 교집합으로 주어지는 곡선의 형태는 다음 4가지로 분류된다.가) $\displaystyle a^2-1=0$인 경우 ($\displaystyle a=1$ 또는 $\displaystyle a=-1$):$\displaystyle y^2=2ax+1$이므로 포물선이 된다.나) $\displaystyle a^2-1\ne0$인 경우:1) $\displaystyle a^2-1=-1$인 경우 ($\displaystyle a=0$):$\displaystyle x^2+y^2=1$이 되므로 중심이 $\displaystyle (0,0)$이고 반지름이 1인 원이 된다. (원의 방정식: $\displaystyle x^2+y^2=r^2$)2) $\displaystyle a^2-1<0$이고 $\displaystyle a^2-1\ne-1$인 경우 ($\displaystyle -1<a<0$ 또는 $\displaystyle 0<a<1$):$\displaystyle \frac{\left(x-\frac a{1-a^2}\right)^2}{\left(\frac1{1-a^2}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac1{\sqrt{1-a^2}}\right)^2}=1$을 만족하므로 타원이 된다.(타원의 방정식: $\displaystyle \frac{x^2}{\mathrm A^2}+\frac{y^2}{\mathrm B^2}=1$, $\displaystyle \mathrm A>0$, $\displaystyle \mathrm B>0$, $\displaystyle \mathrm A\ne\mathrm B$)3) $\displaystyle a^2-1>0$인 경우 ($\displaystyle a>1$ 또는 $\displaystyle a<-1$):$\displaystyle \frac{\left(x+\frac a{a^2-1}\right)^2}{\left(\frac1{a^2-1}\right)^2}-\frac{y^2}{\left(\frac1{\sqrt{a^2-1}}\right)^2}=1$이 되므로 쌍곡선이 된다.(쌍곡선의 방정식: $\displaystyle \frac{x^2}{\mathrm A^2}-\frac{y^2}{\mathrm B^2}=\pm1$)따라서 $\displaystyle a=0$이면 원, $\displaystyle a=1$ 또는 $\displaystyle a=-1$이면 포물선, $\displaystyle -1<a<0$ 또는 $\displaystyle 0<a<1$이면 타원, $\displaystyle a>1$ 또는 $\displaystyle a<-1$이면 쌍곡선이 된다.