자연계열 5번

제시문 2

(가) 평행이동과 일차변환좌표평면 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)$를 $\displaystyle x^{\prime}=x+a$, $\displaystyle y^{\prime}=y+b$를 만족하는 점 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime})$로 보내는 함수관계$\displaystyle f:(x,y)\longrightarrow(x+a,\ y+b)$를 평행이동이라 하고 이를 행렬로 표현하면$\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$가 된다. 또한 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)$를 $\displaystyle x^{\prime}=ax+by$, $\displaystyle y^{\prime}=cx+dy$를 만족하는 점 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime})$로 보내는 함수관계$\displaystyle g:(x,y)\longrightarrow(ax+by,\ cx+dy)$를 일차변환이라 하고, 이의 행렬 표현은$\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$가 된다. 따라서 좌표평면의 일차변환은 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$에 의해 완전히 결정된다. 일차변환에 해당하는 행렬의 예는 $\displaystyle x$축에 대한 대칭변환인 $\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$, $\displaystyle y$축에 대한 대칭변환인 $\displaystyle \begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}$, $\displaystyle y=x$로 주어진 직선에 대한 대칭변환인 $\displaystyle \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, 그리고 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,y)$를 원점을 중심으로 반시계방향으로 $\displaystyle \theta$만큼 회전하는 회전변환인 $\displaystyle \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ 등이 있다.

(나) 이차곡선공간에서 $\displaystyle z^2=x^2+y^2$을 만족하는 점들의 집합을 원뿔면이라 한다. 이 원뿔면은 $\displaystyle xz$평면 위의 직선 $\displaystyle z=x$를 $\displaystyle z$축 둘레로 회전하여 얻어지는 회전체이고, 이것의 모양은 두 원뿔의 꼭짓점을 맞붙여 놓은 형태이다.공간에서 원뿔면과 평면의 교집합으로 주어지는 곡선은 원, 타원, 포물선, 쌍곡선 등이 될 수 있다. 예를 들어 살펴보자. 원뿔면과 평면 $\displaystyle z=4$와의 교집합은 $\displaystyle 4^2=x^2+y^2$이 되고 이는 반지름이 4인 원이다. 또한 원뿔면과 평면 $\displaystyle y=1$과의 교집합은 $\displaystyle z^2-x^2=1$이므로 쌍곡선이 된다.이제 좀 더 일반적인 형태의 평면과 원뿔면의 교집합을 살펴보자. 임의의 실수 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle z=ax+1$로 정의된 평면과 원뿔면의 교집합은 $\displaystyle (ax+1)^2=x^2+y^2$으로 주어진다. 이로부터 이차방정식$\displaystyle (a^2-1)x^2+2ax-y^2+1=0\qquad\cdots\cdots\ (1)$을 얻고 이 식을 정리하면 $\displaystyle a^2-1=0$일 경우는 $\displaystyle y^2=2ax+1$이 되고, $\displaystyle a^2-1\ne0$이면$\displaystyle (a^2-1)\left(x+\frac a{a^2-1}\right)^2-y^2=\frac1{a^2-1}$이 된다. 따라서 $\displaystyle a$의 값에 따라 이 곡선은 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 될 수 있다.

이와 같이 원뿔면과 평면의 교집합으로 나타나는 원, 타원, 포물선, 쌍곡선을 원뿔곡선 또는 이차곡선이라 한다.이러한 곡선은 A, B, C 중 적어도 하나는 0이 아닌 일반적인 이차방정식$\displaystyle Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\qquad\cdots\cdots\ (2)$의 해집합으로 주어진다. 위의 식을 행렬을 사용한 식으로 표현하면$\displaystyle \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}D&E\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+F=0\qquad\cdots\cdots\ (3)$이 된다. 만일 $\displaystyle B\ne0$이면 이 식을$\displaystyle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}\qquad\cdots\cdots\ (4)$로 주어지는 회전변환을 통하여$\displaystyle A^{\prime}x^{\prime2}+C^{\prime}y^{\prime2}+D^{\prime}x^{\prime}+E^{\prime}y^{\prime}+F^{\prime}=0\qquad\cdots\cdots\ (5)$형태의 식으로 변환시킬 수 있다. (5)의 $\displaystyle A^{\prime},C^{\prime},D^{\prime},E^{\prime},F^{\prime}$를 (2)의 A, B, C, D, E, F로부터 구하는 방법은 다음 과정에서 찾을 수 있다.(4)는$\displaystyle \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x^{\prime}&y^{\prime}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\qquad\cdots\cdots\ (6)$로 표현할 수 있고 (4)와 (6)을 (3)에 대입하면$\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}&y^{\prime}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}D&E\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}+F=0\quad\cdots\ (7)$이 된다.$\displaystyle \begin{pmatrix}A^{\prime}&B^{\prime}/2\\B^{\prime}/2&C^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$, $\displaystyle \begin{pmatrix}D^{\prime}&E^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}D&E\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$, $\displaystyle F^{\prime}=F$라 하자.그러면$\displaystyle \begin{aligned}&\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}A\cos^2\theta+C\sin^2\theta+B\sin\theta\cos\theta&(C-A)\sin\theta\cos\theta+(B/2)(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\\(C-A)\sin\theta\cos\theta+(B/2)(\cos^2\theta-\sin^2\theta)&A\sin^2\theta+C\cos^2\theta-B\sin\theta\cos\theta\end{pmatrix}\end{aligned}$이므로$\displaystyle (C-A)\sin2\theta+B\cos2\theta=0\qquad\cdots\cdots\ (8)$이 되는 $\displaystyle \theta$를 선택하면 $\displaystyle B^{\prime}=0$이 된다. 이 때 (7)은$\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}&y^{\prime}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A^{\prime}&0\\0&C^{\prime}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}D^{\prime}&E^{\prime}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}+F^{\prime}=0$가 되고, 이는 (5)가 된다.