자연계열 5번

타원 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0,a\ne b)$의 면적은 두 곡선 $\displaystyle y=b\sqrt{1-\left(\frac xa\right)^2}$과 $\displaystyle y=-b\sqrt{1-\left(\frac xa\right)^2}$으로 둘러싸인 면적과 같다. 따라서 타원의 면적은$\displaystyle \int_{-a}^a2b\sqrt{1-\left(\frac xa\right)^2}dx$로 주어지고 $\displaystyle t=\frac xa$라 하면 $\displaystyle dx=adt$이므로 $\displaystyle \int_{-1}^12ab\sqrt{1-t^2}dt$가 된다.

반지름이 1인 반원의 면적을 구하는 적분식으로부터 $\displaystyle \int_{-1}^1\sqrt{1-t^2}dt=\frac\pi2$가 되므로 타원의 면적은 $\displaystyle ab\pi$이다.

〈문제 4〉에서 $\displaystyle 2x^2+y^2+\sqrt3xy-8=0$은 회전변환에 의해 $\displaystyle \frac{(x^{\prime})^2}{(4/\sqrt5)^2}+\frac{(y^{\prime})^2}{4^2}=1$로 변환되고 회전변환은 면적을 보존하므로 주어진 이차곡선으로 둘러싸인 영역의 면적은 $\displaystyle \frac{16\sqrt5}5\pi$이다.