자연계열 4번

제시문의 내용을 사용하여 $\displaystyle 2x^2+y^2+\sqrt3xy-8=0$을 $\displaystyle A^{\prime}x^{\prime2}+C^{\prime}y^{\prime2}+D^{\prime}x^{\prime}+E^{\prime}y^{\prime}+F^{\prime}=0$의 형태로 변환시키자. $\displaystyle \mathrm A=2$, $\displaystyle \mathrm B=\sqrt3$, $\displaystyle \mathrm C=1$, $\displaystyle \mathrm D=0$, $\displaystyle \mathrm E=0$, $\displaystyle \mathrm F=-8$이므로$\displaystyle (\mathrm C-\mathrm A)\sin2\theta+\mathrm B\cos2\theta=(1-2)\sin2\theta+\sqrt3\cos2\theta$가 되고, 이 식을 0이 되게 하는 $\displaystyle \theta$는 $\displaystyle \sqrt3\cos2\theta=\sin2\theta$를 만족한다. 따라서 $\displaystyle \tan2\theta=\sqrt3$이 되고, $\displaystyle -\frac\pi4<\theta\le\frac\pi4$라고 가정하였으므로 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$이고 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt3}2$, $\displaystyle \sin\theta=\frac12$이다.제시문의 계산식으로부터$\displaystyle \begin{aligned}A^{\prime}&=\mathrm A\cos^2\theta+\mathrm C\sin^2\theta+\mathrm B\sin\theta\cos\theta,\\B^{\prime}/2&=(\mathrm C-\mathrm A)\sin\theta\cos\theta+(\mathrm B/2)(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=\frac12\{(\mathrm C-\mathrm A)\sin2\theta+\mathrm B\cos2\theta\},\\C^{\prime}&=\mathrm A\sin^2\theta+\mathrm C\cos^2\theta-\mathrm B\sin\theta\cos\theta\end{aligned}$임을 알 수 있으므로 계산하면 $\displaystyle A^{\prime}=\frac52$, $\displaystyle B^{\prime}=0$, $\displaystyle C^{\prime}=\frac12$, $\displaystyle D^{\prime}=0$, $\displaystyle E^{\prime}=0$, $\displaystyle F^{\prime}=-8$이 된다. 이로부터 $\displaystyle \frac52x^{\prime2}+\frac12y^{\prime2}-8=0$을 얻고, 이를 정리하면 일반적인 타원의 방정식 $\displaystyle \frac{(x^{\prime})^2}{(4/\sqrt5)^2}+\frac{(y^{\prime})^2}{4^2}=1$을 얻는다. 이 타원의 초점은 $\displaystyle \mathrm F\left(0,\pm\frac8{\sqrt5}\right)$, 꼭짓점은 $\displaystyle \left(\pm\frac4{\sqrt5},0\right)$, $\displaystyle (0,\pm4)$ 그리고 장축은 $\displaystyle y$축과 일치하고 그래프는 아래 그림과 같다.