자연계열 5번

$\displaystyle \begin{aligned}l_t:\;y&=\frac{2-\frac2{1+t}}{1-t}(x-1)+\frac2{1+t}\\&=\frac{2t}{(1-t)(1+t)}(x-1)+\frac2{1+t}\\&=\frac{2t}{(1-t)(1+t)}x+\frac{-2t+2(1-t)}{(1-t)(1+t)}\end{aligned}$따라서 $\displaystyle l_t$의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{2t}{1-t^2}x+\frac{2(1-2t)}{1-t^2}$이다.$\displaystyle 0<a<1$인 각 실수 $\displaystyle a$에 대하여 직선 $\displaystyle l_a:\;y=\frac{2a}{1-a^2}x+\frac{2(1-2a)}{1-a^2}$와 $\displaystyle t\ne a$인 실수 $\displaystyle t$에 대한 직선 $\displaystyle l_t$의 교점을 $\displaystyle (X(t),Y(t))$라고 하면, 점 $\displaystyle \left(\lim_{t\to a}X(t),\lim_{t\to a}Y(t)\right)$는 곡선 S 위에 놓이게 된다.직선 $\displaystyle l_a$와 $\displaystyle l_t$의 식을 연립하여 풀면 $\displaystyle X(t)=\frac{2-a-t+2at}{1+at}$이므로 $\displaystyle \lim_{t\to a}X(t)=\frac{2(1-a+a^2)}{1+a^2}$, $\displaystyle \lim_{t\to a}Y(t)=\frac{2a}{1-a^2}\lim_{t\to a}X(t)+\frac{2(1-2a)}{1-a^2}=\frac{2a}{1-a^2}\times\frac{2(1-a+a^2)}{1+a^2}+\frac{2(1-2a)}{1-a^2}=\frac2{1+a^2}$이다. 따라서 $\displaystyle x=\frac{2(1-a+a^2)}{1+a^2}$, $\displaystyle y=\frac2{1+a^2}$로 두면 $\displaystyle (x,y)$는 곡선 S 위의 점이다.이때 $\displaystyle x-2=\frac{2(1-a+a^2)}{1+a^2}-2=\frac{-2a}{1+a^2}$, $\displaystyle y-1=\frac2{1+a^2}-1=\frac{1-a^2}{1+a^2}$이므로 $\displaystyle (x-2)^2+(y-1)^2=\frac{4a^2}{(1+a^2)^2}+\frac{(1-a^2)^2}{(1+a^2)^2}=\frac{(1+a^2)^2}{(1+a^2)^2}=1$이 성립한다. 그러므로 곡선 S 위의 점 $\displaystyle (x,y)$가 만족하는 식은 $\displaystyle (x-2)^2+(y-1)^2=1$이다.