자연계열 3번

[문제3]은 제시된 문제의 조건을 만족하는 함수를 정의하고, 미분의 성질을 이용하여 이 함수의 그래프 개형을 그리는 문제이다.선분 AB 위의 임의의 점 $\displaystyle Q(0,s)$에서 점 $\displaystyle P(1,t)$까지의 거리는$\displaystyle 1+(t-s)^2=s^2-2ts+t^2+1$, $\displaystyle b\le s\le a$ ----------------(1)Correction. 거리 식은 $\displaystyle \sqrt{1+(t-s)^2}$로 읽어야 한다. 학생답안의 $\displaystyle t>a$인 경우는 $\displaystyle \sqrt{(t-a)^2+1}$, 이계도함수는 $\displaystyle f^{\prime\prime}(t)=\frac1{((t-a)^2+1)^{3/2}}$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.로 주어지므로, 각 실수 $\displaystyle t$에 대하여 이 함수의 최솟값으로 주어진 함수 $\displaystyle f(t)$는$\displaystyle f(t)=\begin{cases}1,&b\le t\le a\\\sqrt{(t-b)^2+1},&t<b\\\sqrt{(t-a)^2+1},&t>a\end{cases}$ ----------------(2)가 된다.이 함수의 그래프 개형을 그리기 위해 $\displaystyle g(t)=\sqrt{t^2+1}$의 그래프 개형을 파악하자. $\displaystyle g(-t)=g(t)$이므로 이 함수의 그래프는 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이고, $\displaystyle t>0$인 경우$\displaystyle g^{\prime}(t)=\frac t{\sqrt{t^2+1}}>0$, $\displaystyle g^{\prime\prime}(t)=\frac1{(t^2+1)^{3/2}}>0$이므로 ----------------(3)이 함수의 그래프는 $\displaystyle t=0$에서 최솟값을 갖고 $\displaystyle t>0$일 때 증가함수이며 모든 점에서 아래로 볼록인 형태가 된다. 점근선은 $\displaystyle y=\pm t$이다. 함수 $\displaystyle f(t)$의 그래프는 함수 $\displaystyle g(t)$의 그래프 일부분의 평행이동과 상수함수의 그래프로부터 구할 수 있고, 이로부터 $\displaystyle f(t)$의 그래프 개형을 다음과 같이 그릴 수 있다.

----------------(4)(또는, $\displaystyle t<b$, $\displaystyle b\le t\le a$, $\displaystyle t>a$인 경우 각각에 대해 미분을 통해 그래프의 개형을 구하여도 된다.)