자연계열 4번

[문제4]는 $\displaystyle x$축 위의 점에서 $\displaystyle y$축 위에 놓인 주어진 고정된 선분을 바라보았을 때 생기는 각도의 크기의 최댓값을 구하고, 각도가 최대인 점 $\displaystyle Q_0$에서 $\displaystyle \triangle ABQ_0$의 외접원이 $\displaystyle x$축에 접함을 보이는 문제이다.$\displaystyle Q(x,0)$ 선분 AB를 바라본 각의 크기는 $\displaystyle Q(x,0)$에서와 $\displaystyle Q(-x,0)$에서 동일하므로 $\displaystyle x\ge0$으로 제한하고 문제를 풀어도 된다.문제에 제시된 그림2로부터 $\displaystyle \cot\alpha(x)=\frac xa$, $\displaystyle \cot\beta(x)=\frac xb$임을 알 수 있고, 삼각함수의 덧셈공식을 사용하여$\displaystyle \cot\theta(x)=\cot(\alpha(x)-\beta(x))=\frac{1+\cot\alpha(x)\cdot\cot\beta(x)}{\cot\beta(x)-\cot\alpha(x)}=\frac{1+\frac x{ab}}{\frac xb-\frac xa}=\frac{x+\frac{ab}x}{(a-b)}$를 얻는다.(또는, $\displaystyle \tan\theta(x)=\tan(\alpha(x)-\beta(x))=\frac{\tan[\alpha(x)]-\tan[\beta(x)]}{1+\tan[\alpha(x)]\cdot\tan[\beta(x)]}=\frac{\frac ax-\frac bx}{1+\frac ax\cdot\frac bx}=\frac{(a-b)x}{x^2+ab}$로부터$\displaystyle \cot\theta(x)=\frac{x^2+ab}{(a-b)x}$로 계산하여도 된다.) ----------------(1)$\displaystyle 0<\theta(x)<\frac\pi2$이고, 이 때 코탄젠트 함수는 감소함수이고 $\displaystyle a-b>0$이므로, $\displaystyle \theta(x)$의 최댓값은 $\displaystyle h(x)=x+\frac{ab}x$, $\displaystyle x>0$, 가 최솟값일 때 나타난다. ----------------(2)$\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac1{x^2}(x^2-ab)$로부터 이 함수의 최솟값은 $\displaystyle x=ab$일 때 $\displaystyle h(\sqrt{ab})=2\sqrt{ab}$이므로, $\displaystyle \theta(x)$의 최댓값은$\displaystyle x=\sqrt{ab}$일 때 나타난다. (참고: $\displaystyle h(x)=x+\frac{ab}x$, $\displaystyle x>0$,의 최솟값은 기하평균과 산술평균의 관계를 이용하여$\displaystyle h(x)\ge2\;x\cdot\frac{ab}x=2\sqrt{ab}$이고 여기서 최솟값은 $\displaystyle x=\frac{ab}x$일 때, 즉, $\displaystyle x=\sqrt{ab}$에서 나타난다 하여도 된다.) ----------------(3)그러므로 구하는 점 $\displaystyle Q_0$의 좌표는 $\displaystyle (\sqrt{ab},0)$이고 $\displaystyle \cot(\theta(ab))=\frac{2\sqrt{ab}}{a-b}$이다. ----------------(4)Correction. 코탄젠트 계산의 분자는 $\displaystyle 1+\frac{x^2}{ab}$이며 최솟값을 갖는 점은 $\displaystyle x=\sqrt{ab}$이다. 산술·기하평균 식은 $\displaystyle h(x)\ge2\sqrt{x\cdot\frac{ab}x}=2\sqrt{ab}$, 대응하는 값은 $\displaystyle \cot\theta(\sqrt{ab})=\frac{2\sqrt{ab}}{a-b}$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(참고: $\displaystyle x<0$인 경우 구하는 점 $\displaystyle Q_0$의 좌표는 $\displaystyle (-\sqrt{ab},0)$이고, $\displaystyle \cot(\theta(-\sqrt{ab}))=\frac{2\sqrt{ab}}{a-b}$이다.)만일 삼각형 $\displaystyle ABQ_0$의 외접원이 $\displaystyle x$축에 접하지 않는다면, 이 원은 $\displaystyle x$축과 서로 다른 두 점 $\displaystyle Q_0(x_0,0)$, $\displaystyle Q_1(x_1,0)$에서 만난다. $\displaystyle x_0=\sqrt{ab}$이므로 제시문 <다>를 이용하면 $\displaystyle x_0\cdot x_1=\sqrt{ab}\cdot x_1=ab$를 만족해야 하고, 이로부터 $\displaystyle x_1=\sqrt{ab}=x_0$를 얻는다. 그러므로 $\displaystyle Q_0=Q_1$이 된다. 이는 $\displaystyle x$축과 서로 다른 두 점에서 만난다는 가정에 위배된다. 따라서 삼각형 $\displaystyle ABQ_0$의 외접원이 $\displaystyle x$축에 접하여야 한다.(또는 다음과 같이 접근하여도 된다. 만일 삼각형 $\displaystyle ABQ_0$의 외접원이 $\displaystyle x$축에 접하지 않는다면 이 원은 $\displaystyle x$축과 두 점에서 만난다. 따라서 $\displaystyle x$축 위에는 이 외접원의 내부에 놓인 점 $\displaystyle Q_1$이 존재하고 이 때 각 $\displaystyle \angle AQ_1B$의 크기는 각 $\displaystyle \angle AQ_0B$의 크기보다 크다. 이는 각 $\displaystyle \angle AQ_0B$의 크기가 최대란 사실에 위배된다. 따라서 이 외접원은 $\displaystyle x$축에 접하여야 한다.) ----------------(5)