자연계열 5번

<가>공간의 점 P와 세 실수의 순서쌍 $\displaystyle a,b,c)$는 일대일로 대응되는데, 이를 점 P의 공간좌표라 하고 이를 기호로 $\displaystyle P(a,b,c)$와 같이 나타낸다. 공간상의 두 점 $\displaystyle P(x,y_1,z_1)$, $\displaystyle Q(x_2,y_2,z_2)$ 사이의 거리는$\displaystyle PQ=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2$으로 주어진다.Correction. <가>에는 원본 파일의 기호 누락이 있다. 공간좌표는 $\displaystyle (a,b,c)$, 첫 점은 $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$, 거리 식은 $\displaystyle PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$로 읽어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.가.《고등학교 ‘기하와 벡터’ 교과서》, (주)미래엔 컬처그룹, 107~109쪽 발췌, 수정

<나>좌표평면 위에서 $\displaystyle x$축의 양의 부분을 시초선으로 하고, 일반각 $\displaystyle \theta$가 나타내는 동경과 원점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle r$인 원이 만나는 점 P의 좌표를 $\displaystyle (a,b)$라고 할 때, $\displaystyle \sin\theta=\frac br$, $\displaystyle \cos\theta=\frac ar$, $\displaystyle \tan\theta=\frac ba$, $\displaystyle \cot\theta=\frac ab$로 정의되고 다음에 주어진 덧셈정리를 만족한다. $\displaystyle \begin{aligned}\sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\\cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\\tan(\alpha+\beta)&=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\end{aligned}$이로부터 삼각함수의 배각공식과 반각공식을 쉽게 구할 수 있다.《고등학교 ‘수학’ 교과서》, (주)두산, 321~322쪽 발췌, 수정《고등학교 ‘수학Ⅱ’ 교과서》, 좋은책 신사고, 53쪽 발췌, 수정

<다>원은 다음의 성질을 갖고 있다.·원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같다.·한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같고, 이 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 $\displaystyle \frac12$이다.·한 원에서 두 현 AB, CD 또는 이들의 연장선이 만나는 점을 P라 하면 $\displaystyle \overline{PA}\cdot\overline{PB}=\overline{PC}\cdot\overline{PD}$가 성립한다.·원 밖의 한 점 P에서 이 원에 그은 접선과 할선이 원과 만나는 점을 각각 T, A, B라고 하면 $\displaystyle \overline{PT}^{\,2}=\overline{PA}\cdot\overline{PB}$가 성립한다.《중학교 ‘수학3’ 교과서》, 천재문화, 189~224쪽 발췌, 수정

<라>함수 $\displaystyle y=f(x)$가 $\displaystyle x=a$에서 미분가능할 때, $\displaystyle f^{\prime}(a)>0$이면 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 증가상태에 있고 $\displaystyle f^{\prime}(a)<0$이면 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 감소상태에 있다. 또한 두 번 이상 미분가능한 함수 $\displaystyle y=f(x)$가 어떤 구간에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)>0$이면 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 이 구간에서 아래로 볼록하고, $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)<0$이면 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 이 구간에서 위로 볼록하다.《고등학교 ‘수학Ⅱ’ 교과서》, 좋은책 신사고, 162~176쪽 발췌, 수정

<마>함수 $\displaystyle (x)$가 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이고 $\displaystyle f(x)$의 한 부정적분을 $\displaystyle (x)$라고 하면, $\displaystyle {}^b f(x)\,dx=\Biggl[F(x)\Biggr]_a^b=F(b)-F(a)$가 된다. 주어진 함수의 부정적분을 구하는 잘 알려진 방법으로는 치환적분법과 부분적분법이 있다. 치환적분법이란 $\displaystyle \int f(x)\,dx$에서 미분가능한 함수 $\displaystyle g(t)$에 대하여 $\displaystyle x=g(t)$로 놓고 $\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt$로 주어지는 관계를 이용한 적분법을 말하고, 부분적분법은 두 함수 $\displaystyle f(x)$, $\displaystyle g(x)$가 미분가능할 때 $\displaystyle \int f(x)g^{\prime}(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)\,dx$로 주어지는 관계를 이용하여 부정적분을 구하는 것을 의미한다.Correction. <마>에는 원본 파일의 기호 누락이 있다. 함수와 부정적분은 $\displaystyle f(x)$, $\displaystyle F(x)$, 정적분은 $\displaystyle \int_a^b f(x)dx$로 읽어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.정적분의 응용으로 입체도형의 부피를 구할 수 있는데, 구간 $\displaystyle [a,b]$의 임의의 점 $\displaystyle x$에서 $\displaystyle x$축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면의 넓이가 $\displaystyle S(x)$일 때, 입체도형의 부피 V는 $\displaystyle V=\int_a^b S(x)\,dx$를 이용하여 계산된다.《고등학교 ‘적분과 통계’ 교과서》, 천재교육, 10~71쪽 발췌, 수정