자연계열 5번

[문제5]는 정적분의 응용에 관한 문제이다. 주어진 입체도형을 $\displaystyle x$축에 수직한 단면으로 잘랐을 때 생기는 단면이 문제에 제시되었으므로, 이 단면의 면적을 구하고 제시문 <마>를 이용하여 주어진 입체도형의 부피를 구하면 된다.$\displaystyle x$축에 수직한 평면과 입체도형 E의 교집합으로 주어지는 단면의 면적은 $\displaystyle (x)=(px^2+qx+r)\;1-x^2$이므로 입체도형 E의 부피는 정적분의 정의에 의하여Correction. 단면적 식은 $\displaystyle S(x)=(px^2+qx+r)\sqrt{1-x^2}$이며, 원문에는 함수 이름과 근호가 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle {}_{-1}^1(px^2+qx+r)\sqrt{1-x^2}\,dx=p\int_{-1}^1 x^2\sqrt{1-x^2}\,dx+q\int_{-1}^1 x\sqrt{1-x^2}\,dx+r\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx$ ----------------(1)Correction. 적분구간만 남은 식에는 정적분 기호 $\displaystyle \int$가 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.로 주어진다.적분을 계산하여 보자.1) $\displaystyle 1-x$은 원점에 대칭인 함수이므로 $\displaystyle {}_{-1}^1x\sqrt{1-x^2}\,dx=0$이다. ----------------(2)Correction. 원점에 대칭인 함수는 $\displaystyle 1-x$가 아니라 $\displaystyle x\sqrt{1-x^2}$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Correction. 적분구간만 남은 식에는 정적분 기호 $\displaystyle \int$가 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.2) $\displaystyle \int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx$는 반지름이 1인 반원의 면적과 같으므로 $\displaystyle \frac12\pi$이다. ----------------(3)3) $\displaystyle \int_{-1}^1 x^2\sqrt{1-x^2}\,dx$의 값을 구하기 위해 $\displaystyle x=\sin\theta$로 치환하자. 그러면 $\displaystyle dx=\cos\theta\,d\theta$이고$\displaystyle \int_{-1}^1 x^2\sqrt{1-x^2}\,dx=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2\theta\cos^2\theta\,d\theta$이다. ----------------(4)삼각함수의 배각공식과 반각공식을 사용하여 식을 정리하자. 그러면 $\displaystyle \sin\theta\cos\theta=\frac12\sin2\theta$이고$\displaystyle \sin^22\theta=\frac{1-\cos4\theta}2$이므로 위 식은 $\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{1-\cos4\theta}8\,d\theta=\Biggl[\frac18\theta-\frac{\sin(4\theta)}{32}\Biggr]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\frac\pi8$가 된다. ----------------(5)(참고: 1)과 2)의 계산과정에서 3)에서와 같이 삼각치환을 하여 계산하여도 된다.)그러므로 1) ~ 3)에 의하여$\displaystyle \int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}(px^2+qx+r)\,dx=\frac{(p+4r)\pi}8$ ----------------(6)이다.