자연계열 1번

(1)$\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{4x+8}=\frac1{4(x+2)}+\frac14$이므로 점근선의 방정식은 $\displaystyle x=-2$, $\displaystyle y=\frac14$이다.$\displaystyle g(x)=-\frac{x-3}{x-4}=-\frac1{x-4}-1$이므로 점근선의 방정식은 $\displaystyle x=4$, $\displaystyle y=-1$이다.따라서 두 그래프의 점근선으로 둘러싸인 영역은 직사각형이고, 그 넓이는 $\displaystyle 6\times\frac54=\frac{15}2$이다.

(2)점 P의 좌표는 $\displaystyle \mathrm P\left(-2,\frac14\right)$이다. 정사각형 ABCD의 네 변이 각각 좌표축에 평행하고, 대각선 AC의 교점이 P이며, 점 A의 $\displaystyle x$좌표가 -2보다 작으므로, 점 A, C의 좌표를 각각 $\displaystyle \mathrm A\left(-2-a,\frac14-a\right)$, $\displaystyle \mathrm C\left(-2+a,\frac14+a\right)$ ($\displaystyle a>0$)로 둘 수 있다.C가 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프 위에 있으므로$\displaystyle \frac14+a=\frac{-2+a+3}{4(-2+a)+8}=\frac{a+1}{4a}$이다.따라서 $\displaystyle 4a\left(\frac14+a\right)=a+1$, $\displaystyle 4a^2=1$이므로 $\displaystyle a=\frac12$이다.그러므로 $\displaystyle \mathrm A\left(-\frac52,-\frac14\right)$, $\displaystyle \mathrm C\left(-\frac32,\frac34\right)$인데, 꼭짓점 B의 $\displaystyle x$좌표는 C의 $\displaystyle x$좌표와 같고, B의 $\displaystyle y$좌표는 A의 $\displaystyle y$좌표와 같으므로 $\displaystyle \mathrm B\left(-\frac32,-\frac14\right)$이다.

(3)함수 $\displaystyle y=h(x)$의 그래프는 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프를 $\displaystyle x$축에 대하여 대칭이동한 것이므로, $\displaystyle y=h(x)$의 그래프의 점근선의 방정식은 $\displaystyle x=-2$, $\displaystyle y=-\frac14$이다.함수 $\displaystyle y=k(x)$의 그래프는 함수 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프를 $\displaystyle y$축의 방향으로 $\displaystyle b$만큼 평행이동한 것이므로, $\displaystyle y=k(x)$의 그래프의 점근선의 방정식은 $\displaystyle x=4$, $\displaystyle y=-1+b$이다.두 함수 $\displaystyle y=h(x)$, $\displaystyle y=k(x)$의 그래프의 점근선으로 둘러싸인 영역이 정사각형이 되려면$\displaystyle 4-(-2)=\left|(-1+b)-\left(-\frac14\right)\right|$을 만족해야 한다. 따라서 $\displaystyle 6=\left|b-\frac34\right|$로부터 $\displaystyle b=\frac{27}4$, $\displaystyle -\frac{21}4$이다.