자연계열 1번

(1)① $\displaystyle y=f(x)=(x-a)^2-a^2+2a$의 그래프의 대칭축은 $\displaystyle x=a$이고② $\displaystyle f(1)=1$이다.③ $\displaystyle a\le1$일 때, 구간 $\displaystyle 1\le x\le2$에서 $\displaystyle f(x)$는 증가함수이고④ $\displaystyle f(2)>f(1)=1$이므로, $\displaystyle M(a)=|f(2)|=f(2)=4-2a$이다.

(2)① $\displaystyle 1<a\le\frac32$인 경우: 구간 $\displaystyle 1\le x\le2$에서$\displaystyle f(1)=1$, $\displaystyle f(a)=-a^2+2a=a(2-a)>0$,$\displaystyle f(2)=4-2a\ge4-2\cdot\frac32=1$이므로$\displaystyle M(a)=|f(2)|=f(2)=4-2a$이다.② $\displaystyle \frac32<a\le2$인 경우: 구간 $\displaystyle 1\le x\le2$에서$\displaystyle f(1)=1$, $\displaystyle f(a)=-a^2+2a=a(2-a)>0$,$\displaystyle f(2)=4-2a\le4-2\cdot\frac32=1$이므로Caution. 양수와 음이 아닌 수, 음수와 양이 아닌 수를 구별해야 한다: $\displaystyle a=2$일 때 $\displaystyle f(a)=0$이므로 이 구간에서는 $\displaystyle f(a)\ge0$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle M(a)=|f(1)|=1$이다.③ $\displaystyle 2<a\le\frac52$인 경우: 구간 $\displaystyle 1\le x\le2$에서$\displaystyle f(x)$는 감소함수이고 $\displaystyle f(1)=1$이다.그리고 $\displaystyle f(2)=4-2a$에 대하여 $\displaystyle -1\le f(2)<0$이다.따라서 $\displaystyle M(a)=|f(1)|=1$이다.④ $\displaystyle \frac52<a$인 경우: 구간 $\displaystyle 1\le x\le2$에서$\displaystyle f(x)$는 감소함수이고 $\displaystyle f(1)=1$이다.그리고 $\displaystyle f(2)=4-2a$에 대하여 $\displaystyle f(2)<-1$이다.따라서 $\displaystyle M(a)=|f(2)|=-f(2)=2a-4$이다.

(3)① $\displaystyle \sum_{k=1}^8M(k-7)=\sum_{k=1}^8(18-2k)$② $\displaystyle k=9$이면 $\displaystyle M(k-7)=M(2)=1$③ $\displaystyle \sum_{k=10}^nM(k-7)=\sum_{k=10}^n(2k-18)$④ $\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^nM(k-7)&=\left(\sum_{k=1}^8(18-2k)\right)+1+\left(\sum_{k=10}^n(2k-18)\right)\\&=1+18\cdot8-18(n-9)-2\sum_{k=1}^8k+2\sum_{k=10}^nk\\&=1+18\cdot8-18(n-9)-2\sum_{k=1}^8k+2\left(\sum_{k=1}^nk-\sum_{k=1}^9k\right)\\&=1+18\cdot8-18(n-9)-2\cdot9-4\sum_{k=1}^8k+2\sum_{k=1}^nk\end{aligned}$⑤ 그러므로$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^nM(k-7)&=1+18(8+9-1)-18n-4\cdot\frac{8\cdot9}2+2\cdot\frac{n(n+1)}2\\&=n^2-17n+145\end{aligned}$