자연계열 4번

(1)① A에서 C로 가는 경로는 $\displaystyle (0,n),(1,n-1),\cdots,(n-1,1),(n,0)$중 한 점을 반드시 지나고 꼭 한번 지난다.② $\displaystyle 0\le k\le n$을 만족하는 정수 $\displaystyle k$에 대해 A에서 출발하여 점 $\displaystyle (k,n-k)$를 지나서 C로 가는 최단 경로의 수는 $\displaystyle {}_{n}\mathrm C_k$이므로③ 구하는 최단 경로의 수는 합의 법칙에 의하여 $\displaystyle \sum_{k=0}^n{}_{n}\mathrm C_k$이고④ 이항정리 $\displaystyle (1+x)^n=\sum_{k=0}^n{}_{n}\mathrm C_k\,x^k$를 사용하여⑤ 이 값을 계산하면 $\displaystyle 2^n$이다.

(2)① $\displaystyle a_1=(1+2+3+4+5)+1=16$② $\displaystyle a_2=(1+2+3)+1=7$③ $\displaystyle a_3=1+1=2$④ $\displaystyle a_4=1$⑤ $\displaystyle a_5=1$⑥ $\displaystyle a_6=1$

(3)① $\displaystyle n$이 짝수인 경우와 홀수인 경우로 나누어 생각하자.② 경우 1. $\displaystyle n$이 짝수인 경우 $\displaystyle n=2m$이라 두자.그러면 $\displaystyle 1\le k\le m$인 자연수 $\displaystyle k$에 대해$\displaystyle a_k=(1+2+\cdots+(n-2k+1))+1=\frac{(n-2k+1)(n-2k+2)}2+1$이고 $\displaystyle m+1\le k\le n$인 자연수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle a_k=1$이다.③ 따라서$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=1}^m\frac{(2k-1)(2k)}2+n=\frac{m(m+1)(4m-1)}6+n=\frac{n(n+2)(2n-1)}{24}+n$.④ 경우 2. $\displaystyle n$이 홀수인 경우 $\displaystyle n=2m+1$이라 두자.그러면 $\displaystyle 1\le k\le m$인 자연수 $\displaystyle k$에 대해$\displaystyle a_k=(1+2+\cdots+(n-2k+2))+1=\frac{(n-2k+2)(n-2k+3)}2+1$이고Correction. 홀수인 경우 합의 마지막 항 $\displaystyle n-2k+2$는 $\displaystyle n-2k$로, 합은 $\displaystyle \frac{(n-2k)(n-2k+1)}2+1$로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle m+1\le k\le n$인 자연수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle a_k=1$이다.⑤ 따라서$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=1}^m\frac{(2k)(2k+1)}2+n=\frac{m(m+1)(2m+1)}3+\frac{m(m+1)}2+n=\frac{m(m+1)(4m+5)}6+n$이고 이를 정리하면 $\displaystyle \frac{(n-1)(n+1)(2n+3)}{24}+n$이다.