자연계열 3번

(1)① 반지름이 1인 원의 중심을 $\displaystyle O$라 하면 삼각형 $\displaystyle OA_0B_0$는 정삼각형이므로 선분 $\displaystyle A_0B_0$의 길이는 1이다.② 삼각형 $\displaystyle A_0C_0D_0$는 $\displaystyle A_0D_0$가 주어진 원의 지름이므로 각 $\displaystyle A_0C_0D_0$가 직각이고③ 빗변 $\displaystyle A_0D_0$의 길이가 2, 선분 $\displaystyle C_0D_0$의 길이는 1인 직각삼각형이다.④ 따라서 피타고라스 정리에 의하여 선분 $\displaystyle A_0C_0$의 길이는 $\displaystyle \sqrt3$이다.⑤ 삼각형 $\displaystyle A_0C_0E_0$는 한 변의 길이가 $\displaystyle \sqrt3$인 정삼각형이므로 면적은 $\displaystyle \frac12(\sqrt3)^2\sin\left(\frac\pi3\right)=\frac{3\sqrt3}4$이다.

(2)① 정육각형 $\displaystyle A_0B_0C_0D_0E_0F_0$의 한 변의 길이는 1이다.② 정육각형 $\displaystyle A_0B_0C_0D_0E_0F_0$는 한 변의 길이가 1인 합동인 정삼각형이 6개 있으므로 이의 면적은 $\displaystyle 6\times\frac12\sin\left(\frac\pi3\right)=\frac{3\sqrt3}2$이다.③ 정육각형 $\displaystyle A_1B_1C_1D_1E_1F_1$의 한 변의 길이는 $\displaystyle \frac{\sqrt3}3$이므로④ 정육각형 $\displaystyle A_1B_1C_1D_1E_1F_1$의 면적은 $\displaystyle 6\times\frac{\sqrt3}4\cdot\left(\frac{\sqrt3}3\right)^2=\frac{\sqrt3}2$이다.⑤ 따라서 면적의 차는 $\displaystyle \sqrt3$이다.

(3)① $\displaystyle \overline{A_1B_1}=\frac13\overline{A_0C_0}=\frac{\sqrt3}3$이고 $\displaystyle \overline{A_0A_1}=\frac23\overline{A_0C_0}=\frac{2\sqrt3}3$이다.② 이런 작업을 반복하면 $\displaystyle \overline{A_kC_k}=\sqrt3\times\overline{A_kB_k}$, $\displaystyle \overline{A_kB_k}=\frac13\overline{A_{k-1}C_{k-1}}$, $\displaystyle \overline{A_kA_{k+1}}=\frac23\overline{A_kC_k}$로부터③ $\displaystyle \overline{A_kA_{k+1}}=\frac23\overline{A_kC_k}=\frac{2\sqrt3}3\overline{A_kB_k}=\frac{2\sqrt3}9\overline{A_{k-1}C_{k-1}}=\frac{\sqrt3}3\overline{A_{k-1}A_k}$이므로 $\displaystyle \overline{A_kA_{k+1}}=2\frac1{\sqrt3^{k+1}}$, ($\displaystyle k\ge0$)이다.④ 따라서$\displaystyle \sum_{k=0}^n\overline{A_kA_{k+1}}=\sum_{k=0}^n\frac2{\sqrt3^{k+1}}=\frac{\frac{2\sqrt3}3\left(1-\left(\frac1{\sqrt3}\right)^{n+1}\right)}{1-\frac1{\sqrt3}}=\frac{2\left(1-\left(\frac1{\sqrt3}\right)^{n+1}\right)}{\sqrt3-1}$이고⑤ 이로부터 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\overline{A_kA_{k+1}}=\sqrt3+1$이다.