자연계열 2번

(1)① 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f(-x)=-f(x)$가 성립하므로② $\displaystyle (-x)^3+a(-x)^2+b(-x)+c=-(x^3+ax^2+bx+c)$로부터 $\displaystyle 2ax^2+2c=0$이고③ 이로부터 $\displaystyle a=0$, $\displaystyle c=0$이다.④ $\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{f(x)}{x-2}=8$로부터 $\displaystyle f(2)=0$이 됨을 알 수 있고 이로부터 $\displaystyle 8+2b=0$이므로 $\displaystyle b=-4$이다.⑤ 따라서 $\displaystyle f(x)=x^3-4x$가 된다.

(2)① $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=2x^2+k$가 서로 다른 두 점에서 만나려면 $\displaystyle x^3-4x=2x^2+k$가 두 실근을 가지면 된다. 따라서 3차 곡선 $\displaystyle y=x^3-2x^2-4x$의 그래프와 $\displaystyle x$축에 평행한 직선 $\displaystyle y=k$가 서로 다른 두 점에서 만나는 $\displaystyle k$의 값을 구하면 된다.② $\displaystyle g(x)=x^3-2x^2-4x$라 두면 $\displaystyle g^{\prime}(x)=3x^2-4x-4=(3x+2)(x-2)=0$으로부터 $\displaystyle x=-\frac23$ 또는 $\displaystyle x=2$에서 극값을 갖고③ $\displaystyle g\left(-\frac23\right)=\frac{40}{27}$, $\displaystyle g(2)=-8$이므로 $\displaystyle k=\frac{40}{27}$ 또는 $\displaystyle k=-8$이면 서로 다른 두 점에서 만난다.④ $\displaystyle k=-8$인 경우 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=2x^2-8$은 $\displaystyle x=-2$와 $\displaystyle x=2$에서 만나고 그래프는

가 되므로⑤ 두 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이는 $\displaystyle \int_{-2}^2(x^3-4x-(2x^2-8))dx=\frac{64}3$이다.

(3)① $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-4$로부터 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1$을 만족하는 값은 $\displaystyle x=\pm\sqrt{\frac53}$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)=-1$을 만족하는 값은 $\displaystyle x=\pm1$이다.② 따라서 기울기가 1인 직선 중 이 곡선에 접하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=x\pm\frac{10\sqrt{15}}9$이고,③ 이 두 직선의 $\displaystyle x$절편 사이의 거리에 삼각함수를 적용하면 직사각형의 두 변 중 기울기가 -1인 직선위에 놓여있는 변의 길이는 $\displaystyle \left(\frac{10\sqrt{15}}9-\frac{-10\sqrt{15}}9\right)\times\sin\left(\frac\pi4\right)$이다.④ 같은 방법으로 기울기가 -1인 직선 중 이 곡선에 접하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-x\pm2$이고, 이로부터 직사각형의 두 변 중 기울기가 1인 직선위에 놓여있는 변의 길이는 $\displaystyle (2-(-2))\times\sin\left(\frac\pi4\right)$이다.⑤ 따라서 주어진 직사각형의 면적은 $\displaystyle 2\times2\sin\left(\frac\pi4\right)\times2\times\frac{10\sqrt{15}}9\sin\left(\frac\pi4\right)=\frac{40\sqrt{15}}9$이다.(③~④ 단계에서 삼각형의 면적을 구하는 여러 가지 방법을 이용해 원점에서 4개의 접선까지의 거리를 계산해도 된다.)