자연계열 3번

(1)① 직각삼각형 $\displaystyle \triangle OO_2P_1$에서 선분 $\displaystyle O_2P_1$의 길이는 $\displaystyle \frac{r_1}2$, 각 $\displaystyle \angle P_1OO_2$의 크기는 $\displaystyle \frac\theta2$이고② 선분 $\displaystyle OO_2$의 길이는 $\displaystyle a-r_1\sin\frac\pi3=a-\frac{\sqrt3}2r_1=\frac{r_1}{2\tan\left(\frac\theta2\right)}$이다.③ 이로부터 $\displaystyle r_1=\frac{2a\tan\left(\frac\theta2\right)}{\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1}$이다.④ $\displaystyle OO_2$를 반지름으로 갖는 부채꼴에 위의 논의를 반복하면$\displaystyle r_2=\frac{2\left(a-\frac{\sqrt3}2r_1\right)\tan\left(\frac\theta2\right)}{\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1}=\frac{2a\tan\left(\frac\theta2\right)}{\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1}\times\frac1{\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1}$이다.$\displaystyle =r_1\times\frac1{\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1}$

(2)① 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}r_n$는 초항이 $\displaystyle r_1=\frac{2a\tan\left(\frac\theta2\right)}{\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1}$이고② 공비가 $\displaystyle \frac1{\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1}$이고 $\displaystyle 0<\frac1{\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1}<1$이므로③ 이 급수의 합은 $\displaystyle \frac{2a}{\sqrt3}$이다.④ 따라서 각 $\displaystyle \theta$와 상관없이 일정하다.

(3)① 정삼각형 $\displaystyle \triangle O_nP_nQ_n$의 넓이 $\displaystyle A_n$은 $\displaystyle \frac12r_n^2\sin\left(\frac\pi3\right)=\frac{\sqrt3}4r_n^2$이므로② 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}A_n$는 초항이 $\displaystyle \frac{\sqrt3a^2\tan^2\left(\frac\theta2\right)}{\left(\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1\right)^2}$이고 공비가 $\displaystyle \frac1{\left(\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1\right)^2}$인 등비급수이고③ 이의 합은$\displaystyle \frac{\frac{\sqrt3a^2\tan^2\left(\frac\theta2\right)}{\left(\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1\right)^2}}{1-\frac1{\left(\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1\right)^2}}=\frac{a^2\tan\left(\frac\theta2\right)}{\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+2}=\frac{a^2}{\sqrt3+2\cot\left(\frac\theta2\right)}$이다.④ $\displaystyle 0<\theta<\pi$에서 $\displaystyle \cot\left(\frac\theta2\right)>0$이므로⑤ $\displaystyle \frac{a^2}{\sqrt3+2\cot\left(\frac\theta2\right)}<\frac{a^2}{\sqrt3}$이다.