성신여대 2022학년도 모의 자연계열 3번 해설

다음 질문에 답하시오. [총25점]

오른쪽 그림과 같이 반지름이 $\displaystyle a$ 이고 중심각이 $\displaystyle \theta$ 인 부채꼴 POQ에 내접하는 정삼각형 $\displaystyle \triangle O_1P_1Q_1$ 의 꼭지점 중 호 PQ의 중점을 $\displaystyle O_1$ , 선분 OP위의 점을 $\displaystyle P_1$ , 선분 OQ위의 점을 $\displaystyle Q_1$ 이라 하자. 그리고 삼각형 $\displaystyle \triangle OP_1Q_1$ 에 내접하는 정삼각형 $\displaystyle \triangle O_2P_2Q_2$ 의 꼭지점 중 선분 $\displaystyle P_1Q_1$ 의 중점을 $\displaystyle O_2$ , 선분 $\displaystyle OP_1$ 위의 점을 $\displaystyle P_2$ , 선분 $\displaystyle OQ_1$ 위의 점을 $\displaystyle Q_2$ 라 하자. 이러한 작업은 무한히 반복할 수 있다.(단, $\displaystyle a>0$ 이고 $\displaystyle 0<\theta<\pi$ 이다.)

(1) 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 정삼각형 $\displaystyle \triangle O_nP_nQ_n$ 의 한 변의 길이를 $\displaystyle r_n$ 이라 할 때, $\displaystyle r_1$ , $\displaystyle r_2$ 의 값을 구하시오. [7점]

(2) 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}r_n$ 의 합은 각 $\displaystyle \theta$ 와 상관없이 일정함을 보이시오. [8점]

(3) 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 정삼각형 $\displaystyle \triangle O_nP_nQ_n$ 의 넓이 $\displaystyle A_n$ 의 합 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}A_n$ 을 구하고 이 값은 $\displaystyle \frac{a^2}{\sqrt3}$ 보다 작음을 보이시오. [10점]

성신여대 2022학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/sungshin/2022mo/jayeon_3

+7점 · (1) 아래에 제시된 단계에 따라 1등급~7등급으로 채점한다.

(1)① 직각삼각형 $\displaystyle \triangle OO_2P_1$ 에서 선분 $\displaystyle O_2P_1$ 의 길이는 $\displaystyle \frac{r_1}2$ , 각 $\displaystyle \angle P_1OO_2$ 의 크기는 $\displaystyle \frac\theta2$ 이고② 선분 $\displaystyle OO_2$ 의 길이는 $\displaystyle a-r_1\sin\frac\pi3=a-\frac{\sqrt3}2r_1=\frac{r_1}{2\tan\left(\frac\theta2\right)}$ 이다.③ 이로부터 $\displaystyle r_1=\frac{2a\tan\left(\frac\theta2\right)}{\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1}$ 이다.④ $\displaystyle OO_2$ 를 반지름으로 갖는 부채꼴에 위의 논의를 반복하면 $\displaystyle r_2=\frac{2\left(a-\frac{\sqrt3}2r_1\right)\tan\left(\frac\theta2\right)}{\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1}=\frac{2a\tan\left(\frac\theta2\right)}{\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1}\times\frac1{\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1}$ 이다. $\displaystyle =r_1\times\frac1{\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1}$

+8점 · (2) 아래에 제시된 단계에 따라 1등급~7등급으로 채점한다.

(2)① 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}r_n$ 는 초항이 $\displaystyle r_1=\frac{2a\tan\left(\frac\theta2\right)}{\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1}$ 이고② 공비가 $\displaystyle \frac1{\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1}$ 이고 $\displaystyle 0<\frac1{\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1}<1$ 이므로③ 이 급수의 합은 $\displaystyle \frac{2a}{\sqrt3}$ 이다.④ 따라서 각 $\displaystyle \theta$ 와 상관없이 일정하다.

+10점 · (3) 아래에 제시된 단계에 따라 1등급~7등급으로 채점한다.

(3)① 정삼각형 $\displaystyle \triangle O_nP_nQ_n$ 의 넓이 $\displaystyle A_n$ 은 $\displaystyle \frac12r_n^2\sin\left(\frac\pi3\right)=\frac{\sqrt3}4r_n^2$ 이므로② 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}A_n$ 는 초항이 $\displaystyle \frac{\sqrt3a^2\tan^2\left(\frac\theta2\right)}{\left(\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1\right)^2}$ 이고 공비가 $\displaystyle \frac1{\left(\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1\right)^2}$ 인 등비급수이고③ 이의 합은 $\displaystyle \frac{\frac{\sqrt3a^2\tan^2\left(\frac\theta2\right)}{\left(\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1\right)^2}}{1-\frac1{\left(\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+1\right)^2}}=\frac{a^2\tan\left(\frac\theta2\right)}{\sqrt3\tan\left(\frac\theta2\right)+2}=\frac{a^2}{\sqrt3+2\cot\left(\frac\theta2\right)}$ 이다.④ $\displaystyle 0<\theta<\pi$ 에서 $\displaystyle \cot\left(\frac\theta2\right)>0$ 이므로⑤ $\displaystyle \frac{a^2}{\sqrt3+2\cot\left(\frac\theta2\right)}<\frac{a^2}{\sqrt3}$ 이다.

소문항	등급	채점 기준
(1)	1등급	전 과정이 모두 맞거나, 일부 생략이 있으나 전체 오류가 없고 답도 맞음
(1)	2등급	④단계의 계산에서 1개의 실수가 있는 경우
(1)	3등급	③단계까지 옳게 서술한 경우
(1)	4등급	②단계까지 옳게 서술한 경우
(1)	5등급	①단계를 옳게 서술한 경우
(1)	6등급	문제를 푸는 과정이 전혀 틀린 경우
(1)	7등급	백지 답안
(2)	1등급	전 과정이 모두 맞거나, 일부 생략이 있으나 전체 오류가 없고 답도 맞음
(2)	2등급	③단계까지의 계산이 맞았는데 이를 해석하여 증명을 마무리 하지 못한 경우
(2)	3등급	③단계 계산에서 1개의 실수가 있는 경우
(2)	4등급	①~②단계까지 옳게 서술한 경우
(2)	5등급	①~②단계에서 오류가 1개인 경우
(2)	6등급	문제를 푸는 과정이 전혀 틀린 경우
(2)	7등급	백지 답안
(3)	1등급	전 과정이 모두 맞거나, 일부 생략이 있으나 전체 오류가 없고 답도 맞음
(3)	2등급	⑤단계까지 옳게 접근하였으나 ④~⑤단계 서술에서 실수한 경우
(3)	3등급	③단계까지 옳게 서술한 경우
(3)	4등급	①~③단계를 이해하고 있으나 실수가 있는 경우
(3)	5등급	①단계를 이해하고 옳게 서술한 경우
(3)	6등급	문제를 푸는 과정이 전혀 틀린 경우
(3)	7등급	백지 답안

* 각 문제에 대하여 아래에 제시된 예시답안과 같이 단계에 따라 1등급~7등급으로 채점한다.이후 등급을 해당 문제의 점수로 환산하여 총점을 계산한다.

* 도출 과정이 옳으나 계산 결과가 정확히 일치하지 않으면 1등급을 감점한다.

* 답안을 서술하면서 식만 나열하고, 논리적인 설명이 없으면 1등급을 감점한다.

* 백지답안은 7등급을 부여한다.

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자연계열 3번

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