자연계열 4번

(1)① $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$는 연속인 증가함수이고 $\displaystyle f(1)=0$, $\displaystyle f(2)=1$, $\displaystyle f(4)=2$, $\displaystyle f(8)=3$, $\displaystyle g(1)=0$, $\displaystyle g(4)=1$이다.② 따라서$\displaystyle A_1=\{0\}$, $\displaystyle A_2=\{1\}$, $\displaystyle A_3=\{1\}$, $\displaystyle A_4=\{1,2\}$, $\displaystyle A_5=\{2\}$,$\displaystyle A_6=\{2\}$, $\displaystyle A_7=\{2\}$, $\displaystyle A_8=\{2,3\}$, $\displaystyle A_9=\{2,3\}$, $\displaystyle A_{10}=\{2,3\}$이 성립하고③ $\displaystyle A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_{10}=\{0,1,2,3\}$이므로④ 원소 개수는 4개이다.

(2)① 자연수 $\displaystyle m$에 대하여 $\displaystyle k\log_n2=m$이라면 $\displaystyle n^m=2^k$가 성립한다.② 따라서 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 2^k$의 약수이므로 $\displaystyle n=2^l$형태이고 $\displaystyle (2^l)^m=2^k$로부터 $\displaystyle l$은 $\displaystyle k$의 약수이어야 한다.③ 그러므로 $\displaystyle N_k$는 $\displaystyle k$의 약수의 개수와 같고④ 이로부터$\displaystyle N_1=1$, $\displaystyle N_2=2$, $\displaystyle N_3=2$, $\displaystyle N_4=3$, $\displaystyle N_5=2$, $\displaystyle N_6=4$, $\displaystyle N_7=2$, $\displaystyle N_8=4$, $\displaystyle N_9=3$, $\displaystyle N_{10}=4$이다.

(3)① (2)의 논의로부터 $\displaystyle N_{2^{k+1}}$는 $\displaystyle 2^{k+1}$의 약수의 개수이므로 $\displaystyle k+2$이다.따라서② $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k\cdot N_{2^{k+1}}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k\cdot(k+2)}$③ $\displaystyle \begin{aligned}&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac12\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac12\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right)\end{aligned}$④ $\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac12\left(1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\right)=\frac34$이다.