자연계열 2번

(1) ① $\displaystyle v(t)$가 $\displaystyle t\ge0$에서 연속이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle v(t)$가 $\displaystyle t=1$, $\displaystyle t=2$에서 연속인 것이다.② $\displaystyle v(t)$가 $\displaystyle t=1$에서 연속이면 $\displaystyle \lim_{t\to1-}v(t)=\lim_{t\to1+}v(t)=v(1)$을 만족해야 하므로③ $\displaystyle 15+a=-1+b$ 따라서 $\displaystyle a-b=-16$이다.④ $\displaystyle v(t)$가 $\displaystyle t=2$에서 연속이면 $\displaystyle \lim_{t\to2-}v(t)=\lim_{t\to2+}v(t)=v(2)$를 만족해야 하므로⑤ $\displaystyle -2+b=ce^{-1}$. 따라서 $\displaystyle b-e^{-1}c=2$이다.

(2) ① $\displaystyle v(t)$가 $\displaystyle t=2$에서 미분가능하기 위해서는 $\displaystyle \lim_{h\to0-}\frac{v(2+h)-v(2)}h=\lim_{h\to0+}\frac{v(2+h)-v(2)}h$를 만족해야 한다.② $\displaystyle \lim_{h\to0-}\frac{v(2+h)-v(2)}h=-1$이고,③ $\displaystyle f(t)=ce^{-\sqrt{t/2}}$라고 하면 $\displaystyle \lim_{h\to0+}\frac{v(2+h)-v(2)}h=\lim_{h\to0+}\frac{ce^{-\sqrt{2+h}}-ce^{-\sqrt2}}h=f^{\prime}(2)$Correction. 차분식은 $\displaystyle \frac{ce^{-\sqrt{(2+h)/2}}-ce^{-1}}h$가 맞다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.④ $\displaystyle f^{\prime}(t)=-\frac c{2\sqrt{2t}}e^{-\sqrt{t/2}}$이므로⑤ $\displaystyle -\frac c{4e}=-1$. 따라서 $\displaystyle c=4e$.

(3) ① $\displaystyle v(t)$가 $\displaystyle t\ge0$에서 연속이므로 $\displaystyle a-b=-16$, $\displaystyle b-e^{-1}c=2$를 만족한다.② $\displaystyle v(t)$가 $\displaystyle t=2$에서 미분가능하므로, $\displaystyle c=4e$이다. 따라서 $\displaystyle b=6$, $\displaystyle a=-10$이다.③ 이 때, $\displaystyle \int_0^2v(t)dt=\int_0^1v(t)dt+\int_1^2v(t)dt=\int_0^1(15t^2-10)dt+\int_1^2(-t+6)dt=-5+\frac92=-\frac12$④ 또한, $\displaystyle \int_2^8v(t)dt=4e\int_2^8e^{-\sqrt{t/2}}dt=16e\int_1^2xe^{-x}dx=16e\times\frac{2e-3}{e^2}=32-\frac{48}e>8$ ($\displaystyle \because2<e<3$)⑤ 거리를 나타내는 함수 $\displaystyle D(t)=\int_0^t v(s)ds$가 $\displaystyle t\ge0$에서 연속이고, $\displaystyle D(2)<0<D(8)$이므로 사잇값 정리에 의해 원점에서 출발한 점 P가 $\displaystyle 2<t<8$일 때, 원점을 적어도 한 번 다시 통과한다.Caution. 수직선 위에서 속도를 적분하면 변위를, 속력을 적분하면 이동 거리를 구한다: $\displaystyle D(t)=\int_0^t v(s)\,ds$는 시각 0부터 $\displaystyle t$까지의 변위이며, 점 $\displaystyle \mathrm P$가 원점에서 출발하므로 시각 $\displaystyle t$에서의 위치 좌표와 같다. 시각 2에는 $\displaystyle D(2)=-\frac12$이므로 점은 원점의 왼쪽에 있다. 같은 시간 동안의 이동 거리는 $\displaystyle \int_0^t |v(s)|\,ds$이다. 따라서 대학 예시답안에서 $\displaystyle D(t)$를 ‘거리’라고 한 것은 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.