자연계열 3번

(1) ① (가) $\displaystyle x$축과 $\displaystyle y$축, $\displaystyle x=n$, $\displaystyle y=2^x$으로 둘러싸인 부분의 넓이는$\displaystyle \int_0^n2^x\,dx=\Biggl[\frac{2^x}{\ln2}\Biggr]_0^n=\frac{2^n-1}{\ln2}$② (나) $\displaystyle x$축과 $\displaystyle x=n$, $\displaystyle x=2^n$, $\displaystyle y=-x+n+2^n$로 둘러싸인 부분은 사다리꼴이고 넓이는 $\displaystyle \frac12\times(2^n-n)\times(n+2^n)$③ (다) $\displaystyle x$축과 $\displaystyle x=2^n$, $\displaystyle y=\log_2x$로 둘러싸인 부분의 넓이는 직선 $\displaystyle y=x$에 대하여 대칭이동하면 $\displaystyle y$축과 $\displaystyle y=2^n$, $\displaystyle y=2^x$로 둘러싸인 부분의 넓이와 같고 이는$\displaystyle n\times2^n-\int_0^n2^x\,dx=n\times2^n-\frac{2^n-1}{\ln2}$④ (라) $\displaystyle x$축과 $\displaystyle y$축, $\displaystyle y=-x+1$로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \frac12$⑤ 따라서 구하는 넓이는 (가) + (나) - (다) - (라)이므로$\displaystyle \frac{2(2^n-1)}{\ln2}+\frac{2^n(2^n-2n)-n^2-1}2$

(2) ① 점 $\displaystyle (2^n,g(2^n))$에서 곡선 $\displaystyle y=g(x)$의 접선의 방정식은 $\displaystyle g^{\prime}(2^n)=\frac1{2^n\ln2}$이고 $\displaystyle g(2^n)=n$이므로$\displaystyle y=\frac1{2^n\ln2}(x-2^n)+n$② 점 $\displaystyle (g(2^n),f(g(2^n)))$에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 접선의 방정식은 $\displaystyle g(2^n)=n$, $\displaystyle f(g(2^n))=2^n$, $\displaystyle f^{\prime}(n)=2^n\ln2$이므로$\displaystyle y=2^n\ln2\,(x-n)+2^n$③ $\displaystyle n=0$일 때, 두 접선은 $\displaystyle y=\frac1{\ln2}(x-1)$과 $\displaystyle y=\ln2\,x+1$이므로 두 직선의 교점은 $\displaystyle \left(\frac1{1-\ln2},\frac1{1-\ln2}\right)$이고④ 삼각형의 넓이는 $\displaystyle \left(\frac1{1-\ln2}\right)^2-\left(\frac1{1-\ln2}-1\right)\frac1{1-\ln2}-\frac12=\frac{1+\ln2}{2(1-\ln2)}=\frac{1+\ln2}{2-\ln4}$이다.

(3) ① $\displaystyle a_1=1$이고 $\displaystyle n\ge2$일 때 $\displaystyle a_n=g(2)+g(f(a_{n-1}))=1+a_{n-1}$이므로 $\displaystyle a_n$은 첫째항이 1이고 공차가 1인 등차수열이고 $\displaystyle a_n=n$이다.② 따라서 $\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}2$이고③ $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac2{n(n+1)}=\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^k2\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)=\lim_{k\to\infty}2\left(1-\frac1{k+1}\right)=2$이다.④ $\displaystyle b_1=1$이고 $\displaystyle n\ge2$일 때 $\displaystyle b_n=f(-1)f(g(b_{n-1}))=\frac{b_{n-1}}2$이므로 수열 $\displaystyle b_n$은 첫째항이 1이고, 공비가 $\displaystyle \frac12$인 등비수열이다.⑤ 따라서 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n=\frac1{1-\frac12}=2$이다.