자연계열 4번

(1) ① 각 QAB의 크기를 $\displaystyle \theta$라디안이라 하면, AB가 원의 지름이므로 각 AQB와 각 APB는 직각이고② 따라서 삼각형 AQB에서 $\displaystyle \cos\theta=\frac a2$, $\displaystyle \sin\theta=\frac{\sqrt{4-a^2}}2$이다.③ 삼각형 ABP에서 $\displaystyle \cos2\theta=\frac{\overline{AP}}2$이므로④ $\displaystyle \overline{AP}=2\cos2\theta=2(2\cos^2\theta-1)$⑤ $\displaystyle \overline{AP}=a^2-2$

(2) ① $\displaystyle \overline{HK}=a\cos\theta-\overline{AP}\cos2\theta$이고 $\displaystyle a=2\cos\theta$, $\displaystyle \overline{AP}=2\cos2\theta$이므로② $\displaystyle \overline{HK}=2\cos^2\theta-2\cos^22\theta=2\cos^2\theta-2(2\cos^2\theta-1)^2$③ $\displaystyle =-8\left(\cos^2\theta-\frac58\right)^2+\frac98$④ 각 PAB는 직각보다 작으므로 $\displaystyle 2\theta<\frac\pi2$이고 따라서 $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi4$이다. 이 때, $\displaystyle \frac{\sqrt2}2<\cos\theta<1$이므로⑤ 선분 HK의 길이의 최댓값은 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt{10}}4$일 때 $\displaystyle \frac98$이다.

(3) ① 위의 (2)의 결과로부터 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt{10}}4$이므로② $\displaystyle \overline{AQ}=a=2\cos\theta=\frac{\sqrt{10}}2$, $\displaystyle \overline{AP}=2\cos2\theta=2(2\cos^2\theta-1)=a^2-2=\frac12$이고,③ $\displaystyle \sin\theta=\frac{\sqrt6}4$, $\displaystyle \cos2\theta=\frac14$, $\displaystyle \sin2\theta=\frac{\sqrt{15}}4$가 성립한다.④ $\displaystyle \overline{PQ}$는 밑변이 $\displaystyle \frac98$이고 높이가 $\displaystyle \overline{PH}+\overline{QK}$인 직사각형의 대각선이며$\displaystyle \overline{PH}+\overline{QK}=\overline{AP}\sin2\theta+\overline{AQ}\sin\theta=\frac12\times\frac{\sqrt{15}}4+\frac{\sqrt{10}}2\times\frac{\sqrt6}4=\frac{3\sqrt{15}}8$이므로 피타고라스 정리에 의해$\displaystyle \overline{PQ}=\frac{3\sqrt6}4$이다.⑤ 삼각형 PAQ의 넓이는 $\displaystyle \frac{\overline{AP}\times\overline{AQ}\times\overline{PQ}}4=\frac{3\sqrt{15}}{32}$이다.