자연계열 1번

(1) 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 방정식은$\displaystyle y=\frac{-\frac1t}{t}(x-t)=-\frac1{t^2}(x-t)$이고, 직선 $\displaystyle \mathrm{CD}$의 방정식은$\displaystyle y=\frac{-t}{\frac1t}\left(x-\frac1t\right)=-t^2\left(x-\frac1t\right)$이다. 두 직선의 교점의 $\displaystyle x$좌표는$\displaystyle -\frac1{t^2}(x-t)=-t^2\left(x-\frac1t\right)$의 해인 $\displaystyle x=\frac{t}{t^2+1}$이다. 이를 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 방정식에 대입하면 $\displaystyle y=\frac{t}{t^2+1}$임을 알 수 있다.

(2) (1)에서 구한 교점을 $\displaystyle \mathrm{E}\left(\frac{t}{t^2+1},\frac{t}{t^2+1}\right)$라고 하자.

이때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABO}$와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{COD}$가 겹치는 영역의 넓이는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BOE}$의 넓이와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{EOD}$의 넓이의 합과 같다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BOE}$와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{EOD}$는 밑변의 길이가 $\displaystyle \frac1t$이고 높이가 $\displaystyle \frac{t}{t^2+1}$인 삼각형이므로, 이 둘의 넓이는 모두$\displaystyle \frac12\cdot\frac1t\cdot\frac{t}{t^2+1}=\frac1{2(t^2+1)}$이다. 따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABO}$와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{COD}$가 겹치는 영역의 넓이를 $\displaystyle t$에 대한 식으로 표현하면 $\displaystyle \frac1{t^2+1}$이다.

(3) (2)에서 구한 식을 $\displaystyle f(t)$라고 하면,$\displaystyle \frac{f(t)}{f(2t)}=\frac{\frac1{t^2+1}}{\frac1{4t^2+1}}=\frac{4t^2+1}{t^2+1}$이다. 따라서$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{f(t)}{f(2t)}=\lim_{t\to\infty}\frac{4t^2+1}{t^2+1}=4$이다.