자연계열 2번

(1) $\displaystyle n=1$일 때, (좌변)$\displaystyle =1^2=1$, (우변)$\displaystyle =\frac13\times1\times1\times3=1$이므로 주어진 등식이 성립한다.

$\displaystyle n=k$일 때 등식$\displaystyle 1^2+3^2+5^2+\cdots+(2n-1)^2=\frac13n(2n-1)(2n+1)$이 성립한다고 가정하자. 그러면$\displaystyle \begin{aligned}1^2+3^2+5^2+\cdots+(2k-1)^2+(2k+1)^2&=\frac13k(2k-1)(2k+1)+(2k+1)^2\\&=\frac{2k+1}{3}(2k^2+5k+3)\\&=\frac13(k+1)(2k+1)(2k+3)\end{aligned}$이므로 주어진 등식이 $\displaystyle n=k+1$인 경우에도 성립한다.

그러므로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

(2) $\displaystyle n=1$일 때, (좌변)$\displaystyle =S_{2^1}=S_2=1+\frac12=\frac32$, (우변)$\displaystyle =1+\frac12=\frac32$ 이므로 주어진 부등식이 성립한다.

$\displaystyle n=k$일 때 부등식$\displaystyle S_{2^n}\ge1+\frac n2$이 성립한다고 가정하자. 그러면$\displaystyle \begin{aligned}S_{2^{k+1}}&=S_{2^k}+\frac1{2^k+1}+\frac1{2^k+2}+\frac1{2^k+3}+\cdots+\frac1{2^k+2^k}\\&\ge1+\frac k2+\frac1{2^k+2^k}+\frac1{2^k+2^k}+\frac1{2^k+2^k}+\cdots+\frac1{2^k+2^k}\\&=1+\frac k2+\frac{2^k}{2^k+2^k}\\&=1+\frac{k+1}{2}\end{aligned}$이므로 주어진 부등식이 $\displaystyle n=k+1$인 경우에도 성립한다.

그러므로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 부등식이 성립한다.

(3) $\displaystyle n=1$일 때 $\displaystyle 5^{2n-1}+4^{n+1}$의 값은 $\displaystyle 5+4^2=21$이므로 이것은 $\displaystyle 21$의 배수이다.

$\displaystyle n=k$일 때 $\displaystyle 5^{2n-1}+4^{n+1}$이 $\displaystyle 21$의 배수라고 가정하자. 즉$\displaystyle 5^{2k-1}+4^{k+1}=21q$로 놓자(단, $\displaystyle q$는 자연수). 그러면$\displaystyle \begin{aligned}5^{2k+1}+4^{k+2}&=25\cdot5^{2k-1}+4\cdot4^{k+1}\\&=(21+4)\cdot5^{2k-1}+4\cdot4^{k+1}\\&=4(5^{2k-1}+4^{k+1})+21\cdot5^{2k-1}\\&=4\cdot21q+21\cdot5^{2k-1}\\&=21(4q+5^{2k-1})\end{aligned}$이므로 $\displaystyle n=k+1$인 경우도 $\displaystyle 5^{2n-1}+4^{n+1}$이 $\displaystyle 21$의 배수가 된다.

그러므로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 5^{2n-1}+4^{n+1}$은 $\displaystyle 21$의 배수이다.