자연계열 3번

(1) 숫자 123을 하나의 블록으로 생각한다. 나머지 두 자리는 4부터 9까지의 숫자 중 서로 다른 두 숫자를 선택하여 채워야 하므로 그 경우의 수는$\displaystyle {}_6\mathrm{P}_2=6\times5=30$이다. 또한 블록 123은123□□ 또는 □123□ 또는 □□123의 세 위치에 놓일 수 있다. 따라서 가능한 다섯 자리 자연수의 개수는$\displaystyle 3\times{}_6\mathrm{P}_2=3\times6\times5=90$이다.

(2) 숫자 1과 숫자 3 사이에 정확히 두 개의 숫자가 있어야 하므로, 숫자 1과 숫자 3의 위치는1□□3□ 또는 □1□□3의 두 가지뿐이다.

첫 번째의 경우, 숫자 2는 둘째 자리 또는 셋째 자리에 올 수 있다. 따라서 숫자 2의 위치는 2가지 경우가 가능하다. 나머지 두 자리는 4, 5, 6, 7, 8, 9 중 서로 다른 두 숫자를 선택하여 배열하므로$\displaystyle {}_6\mathrm{P}_2=6\times5=30$가지이다. 따라서 이 경우 원하는 배열을 얻는 경우의 수는$\displaystyle 2\times30=60$가지이다.

두 번째의 경우도 같은 방식으로 경우의 수가 60임을 보일 수 있다.

따라서 가능한 다섯 자리 자연수의 개수는$\displaystyle 60+60=120$이다.

(3) 먼저 숫자 3이 숫자 2와 이웃하는 경우를 생각하자.

숫자 1과 숫자 2도 서로 이웃해야 하므로 숫자 1, 2, 3은 반드시1 2 3 또는 3 2 1의 형태로 연속하여 나타난다. 이를 하나의 블록으로 생각하면, 이 블록의 위치를 정하는 경우의 수는 3이고, 나머지 두 자리를 4부터 9까지의 숫자로 채우는 경우의 수는 $\displaystyle {}_6\mathrm{P}_2=30$이다. 따라서 이 경우 원하는 배열을 얻는 경우의 수는$\displaystyle 2\times3\times{}_6\mathrm{P}_2=2\times3\times30=180$이다.

다음으로 숫자 3이 숫자 4와 이웃하고, 숫자 2와는 이웃하지 않는 경우를 생각하자. 이 경우에는 12 또는 21을 하나의 블록으로, 34 또는 43을 하나의 블록으로 생각할 수 있다. 두 블록을 12와 34로 정하거나, 21과 43으로 정할 경우, 또한 두 블록이 1234 혹은 4321로 붙어 있으면 숫자 3과 숫자 2가 이웃하게 되므로, 앞의 경우에서 고려한 경우와 중복된다. 이 경우를 제외하고 가능한 배열은12, 34를 선택한 경우: 12□34, □3412, 34□12, 3412□,12, 43을 선택한 경우: □1243, 12□43, 1243□, □4312, 43□12, 4312□,21, 34를 선택한 경우: □2134, 21□34, 2134□, □3421, 34□21, 3421□,21, 43을 선택한 경우: □2143, 21□43, 2143□, 43□21의 20가지이다. 빈 자리에 들어갈 숫자는 5부터 9까지의 숫자 중 하나이므로 각 경우마다 5가지 방법으로 빈 자리를 채울 수 있다. 따라서 원하는 배열을 얻는 경우의 수는$\displaystyle 20\times5=100$이다.

따라서 문제에서 원하는 배열을 모두 얻는 경우의 수는$\displaystyle 180+100=280$이다.