의예과 1번

$\displaystyle E=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$라고 하자.

(1)-(a)

$\displaystyle trA=\alpha$라고 하자. 등식 $\displaystyle A^2=\alpha A-E$ 이 성립하므로

$\displaystyle A^{k+1}=\alpha A^k-A^{k-1}(k\ge1,A^0=E)$

이다. $\displaystyle a_k=tr(A^k)(k=0,1,2,\cdots)$가 $\displaystyle a_{k+1}=\alpha a_k-a_{k-1}(k=1,2,\cdots)$ --- ① 을 만족시킨다.

경우 1. $\displaystyle \alpha>2$ 라고 가정하자.

식 ①에 의해 $\displaystyle a_2-a_1=(\alpha-1)a_1-a_0=(\alpha-1)\alpha-2>(2-1)2-2=0$

이므로 $\displaystyle a_2>a_1$이고 $\displaystyle a_k>a_{k-1}>\cdots>a_1$라고 가정하면 역시 ①에 의해

$\displaystyle a_{k+1}-a_k=(\alpha-1)a_k-a_{k-1}>(2-1)a_k-a_{k-1}>0$

이므로 $\displaystyle a_{k+1}>a_k$이므로 모든 자연수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle a_{k+1}>a_k$이고 따라서 모든 자연수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle a_k>2$이다. 그러나 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle A^n=E$이므로 $\displaystyle a_n=tr(A^n)=trE=2$이다.

이는 모순이므로 $\displaystyle \alpha\le2$이다.

경우 2. $\displaystyle \alpha<-2$ 라고 가정하자.

$\displaystyle A^2=B$라고 두면 $\displaystyle B^n=A^{2n}=(A^n)^2=E^2=E$이고,

$\displaystyle tr(B)=tr(A^2)=a_2=\alpha^2-2>2$이므로 경우1에 의해 모순이다.

따라서 $\displaystyle \alpha\ge-2$이다. 경우1과 경우2에 의해 $\displaystyle -2\le tr(A)\le2$이다.

(1)-(b)

$\displaystyle trA=2$일 때, $\displaystyle A^2-2A+E=0$이고 적당한 다항식 $\displaystyle q(x)$에 대하여

$\displaystyle x^n=(x^2-2x+1)q(x)+nx+(1-n)$ 이므로

$\displaystyle \begin{aligned}E=A^n&=(A^2-2A+E)q(A)+nA+(1-n)E\\&=nA+(1-n)E\end{aligned}$

이다. 따라서 $\displaystyle A=E$이다.

$\displaystyle B=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$가 $\displaystyle B^5=E$를 만족시키므로 $\displaystyle \det B=ad-bc=1$ ---① 이다.

행렬 $\displaystyle A=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}$를 $\displaystyle ABA^{-1}B^{-1}$에 대입하여 계산하면

$\displaystyle tr(ABA^{-1}B^{-1})=2\cos^2\theta+(a^2+b^2+c^2+d^2)\sin^2\theta$ ---② 이다.

부등식 $\displaystyle a^2+b^2+c^2+d^2\ge2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}\ge2(ad-bc)=2$를

식 ② 에 대입하면 $\displaystyle tr(ABA^{-1}B^{-1})\ge2$ ---③ 이다. $\displaystyle (ABA^{-1}B^{-1})^5=E$이므로

(1)-(a)에 의하여 $\displaystyle tr(ABA^{-1}B^{-1})\le2$ ---④ 이다.

식 ③와 ④에 의하여 $\displaystyle tr(ABA^{-1}B^{-1})=2$ 이므로 (1)-(b)에 의하여 $\displaystyle ABA^{-1}B^{-1}=E$.

즉, $\displaystyle AB=BA$ 이다. 이 식을 계산하여 정리하면 $\displaystyle a=d,\ b=-c$ 이므로

식 ①은 $\displaystyle a^2+c^2=1$ 이 된다.

그러므로 $\displaystyle B=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$를 적당한 실수 $\displaystyle \gamma$에 대하여 $\displaystyle B=\begin{bmatrix}\cos\gamma&-\sin\gamma\\\sin\gamma&\cos\gamma\end{bmatrix}$로 나타낼 수 있다.

따라서 행렬 $\displaystyle B$가 $\displaystyle B^5=E,\ (ABA^{-1}B^{-1})^5=E$ ---⑤ 을 만족시키기 위한 필요충분조건은

$\displaystyle B=\begin{bmatrix}\cos\gamma&-\sin\gamma\\\sin\gamma&\cos\gamma\end{bmatrix},\ B^5=E$ 이다.

즉, $\displaystyle B^5=\begin{bmatrix}\cos\gamma&-\sin\gamma\\\sin\gamma&\cos\gamma\end{bmatrix}^5=\begin{bmatrix}\cos5\gamma&-\sin5\gamma\\\sin5\gamma&\cos5\gamma\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$이므로

식 ⑤를 만족시키는 모든 행렬 $\displaystyle B$는 $\displaystyle B=\begin{bmatrix}\cos\gamma&-\sin\gamma\\\sin\gamma&\cos\gamma\end{bmatrix},\ \gamma=\frac{2k\pi}{5},\ k=0,1,2,3,4$이다.