의예과 2번

합성함수 $\displaystyle (g\circ f)(x)$가 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여

$\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=\begin{cases}af(x)&(f(x)\ne k)\\k&(f(x)=k)\end{cases}$ ---① 이고 다음이 성립한다.

$\displaystyle 0\le\frac{(x-1)^2}{2+x^2}\le1.5$ (등호는 $\displaystyle x=1,-2$ 일 때 성립)

(i) $\displaystyle k<0,\ k>1.5$인 경우.

방정식 $\displaystyle f(x)=k$의 실근이 유일하고 $\displaystyle x=0$이므로 ①은 다음과 같다.

$\displaystyle (g\circ f)(x)=\begin{cases}af(x)&(f(x)\ne k)\\k&(f(x)=k)\end{cases}=\begin{cases}a\dfrac{(x-1)^2}{2+x^2}&(x\ne0)\\k&(x=0)\end{cases}$

그러므로 합성함수 $\displaystyle (g\circ f)(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 필요충분조건은 $\displaystyle x=0$에서 합성함수 $\displaystyle (g\circ f)(x)$가 연속이다.

즉, $\displaystyle a=2k$ 이다. 따라서 $\displaystyle k<0,k>1.5$ 이고 $\displaystyle a=2k$이면 합성함수 $\displaystyle (g\circ f)(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(ii) $\displaystyle k\ge0$ 또는 $\displaystyle k\le1.5$인 경우.Comment. 대학 답안의 (ii)에 적힌 “또는”은 “그리고”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

방정식 $\displaystyle f(x)=k$인 실근 $\displaystyle x=x_1(\ne0)$이 존재한다.

임의의 상수 $\displaystyle k$에 대하여 방정식 $\displaystyle \frac{(x-1)^2}{2+x^2}=k$의 실근의 개수가 유한개이므로,

$\displaystyle x_1$을 포함하는 적당한 개구간 $\displaystyle I=(\alpha,\beta)$($\displaystyle \alpha,\beta$는 적당한 실수)가 존재해서 $\displaystyle x\in I-\{x_1\}$이면 $\displaystyle f(x)\ne k$ 이다. 그러므로 ①로부터 $\displaystyle x\in I-\{x_1\}$이면 $\displaystyle g(f(x))=af(x)$이고 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x(\ne0)$에서 연속이므로

$\displaystyle \lim_{x\to x_1}(g\circ f)(x)=\lim_{x\to x_1}g(f(x))=\lim_{x\to x_1}af(x)=a\lim_{x\to x_1}f(x)=af(x_1)=ak$

이다. 또한 $\displaystyle (g\circ f)(x_1)=g(f(x_1))=g(k)=k$ 이고 $\displaystyle \lim_{x\to x_1}(g\circ f)(x)=(g\circ f)(x_1)$

이므로 $\displaystyle ak=k$ ∴ $\displaystyle k=0$ 또는 $\displaystyle a=1$

경우1. $\displaystyle k=0$일 때, ①은 다음과 같다.

$\displaystyle (g\circ f)(x)=\begin{cases}af(x)&(f(x)\ne0)\\0&(f(x)=0)\end{cases}=\begin{cases}a\dfrac{(x-1)^2}{2+x^2}&(x\ne0,1)\\0&(x=0,1)\end{cases}$

그러므로 합성함수 $\displaystyle (g\circ f)(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 필요충분조건은 $\displaystyle x=0$에서 합성함수 $\displaystyle (g\circ f)(x)$가 연속이다.

즉, $\displaystyle a=0$ 이다.

따라서 $\displaystyle k=0$ 이고 $\displaystyle a=0$이면 합성함수 $\displaystyle (g\circ f)(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

경우2. $\displaystyle a=1$일 때,

$\displaystyle (g\circ f)(x)=\begin{cases}f(x)&(f(x)\ne k)\\k&(f(x)=k)\end{cases}=\begin{cases}\dfrac{(x-1)^2}{2+x^2}&(x\ne0)\\k&(x=0)\end{cases}$이다.

그러므로 $\displaystyle a=1$이고 $\displaystyle k=1/2$이면 $\displaystyle (g\circ f)(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(i)과 (ii)에 의하여 $\displaystyle (g\circ f)(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 $\displaystyle k$와 $\displaystyle a$에 대한 필요충분조건은 다음과 같다.

$\displaystyle k\le0,k=1/2,k>1.5,\ a=2k$