의예과 3번

$\displaystyle s=\frac{1}{2}(a+b+c)$와 $\displaystyle \triangle ABC$의 내접원의 반지름의 길이 $\displaystyle r$를 이용하면

$\displaystyle \triangle APM$의 넓이는

$\displaystyle \frac{1}{2}\sin A\,\overline{AP}\,\overline{AM}=\frac{\triangle ABC\text{의 넓이}}{bc}\overline{AP}\,\overline{AM}=\frac{sr}{bc}\frac{1}{2}c\overline{AM}=\frac{sr}{2b}\overline{AM}$ ---①

이고

$\displaystyle \begin{aligned}\triangle APM\text{의 넓이}&=\triangle APK\text{의 넓이}+\triangle AKM\text{의 넓이}\\&=\frac{1}{2}\overline{AP}r+\frac{1}{2}\overline{AM}r\qquad\text{---②}\\&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}\overline{AM}r\end{aligned}$

이므로 다음 식이 성립한다.

$\displaystyle \frac{sr}{2b}\overline{AM}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}\overline{AM}r$ 이 식을 정리하면,

$\displaystyle \overline{AM}=\frac{bc}{a-b+c}$ ---③ 이다.

$\displaystyle \triangle ANQ$에 대하여 $\displaystyle \triangle APM$와 마찬가지로 ①과 ②의 과정을 따르면 다음이 성립한다.

$\displaystyle \overline{AN}=\frac{bc}{a+b-c}$ ---④

조건 (가): ($\displaystyle \triangle ANM$의 넓이) < ($\displaystyle \triangle ABC$의 넓이)로부터 $\displaystyle \overline{AN}\,\overline{AM}<bc$ 이고

이 식에 ③과 ④를 대입하여 정리하면 $\displaystyle a^2>b^2+c^2-bc$ 이다.

이 식에 조건 (나) $\displaystyle b\le c$ 를 적용하면 다음이 성립한다.

$\displaystyle a>b$ ---⑤

$\displaystyle f(x)=5x^4-4bx^3+6ax^2-cx-a$라고 하자.

식 ⑤와 조건 (다)로부터 얻은 부등식 $\displaystyle 0<b<2R=5$를 적용하면

$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=60x^2-24bx+12a=12(5x^2-2bx+a),$

$\displaystyle b^2-5a<b(b-5)<0$

이므로 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)>0$ 이다.

따라서 3차 함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 증가함수이고

4차 방정식 $\displaystyle 5x^4-4bx^3+6ax^2-cx-a=0$은 허근을 가진다.