의예과 1번

탁자 위의 동전을 던질 때, 앞면이 나오는 사건을 $\displaystyle A$, 탁자 위의 공이 $\displaystyle k$번째 상자에 들어가는 사건을 $\displaystyle B_k$라고 하자. $\displaystyle P(A)=P(A^c)=\frac{1}{2}$이다. 또한

$\displaystyle \begin{aligned}P(B_k\mid A)&=P\left(\frac{k-1}{100}\le X_1\le\frac{k}{100}\right)\\&=\int_{(k-1)/100}^{k/100}f^{\prime}(x)dx\qquad\text{--- (1)}\\&=f\left(\frac{k}{100}\right)-f\left(\frac{k-1}{100}\right)\qquad\text{--- (2)}\\&=\left(\frac{k}{100}\right)^2-\left(\frac{k-1}{100}\right)^2\\&=\frac{2k-1}{10^4}\qquad\text{--- (3)}\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}P(B_k\mid A^c)&=P\left(\frac{k-1}{100}\le X_2\le\frac{k}{100}\right)\\&=\int_{(k-1)/100}^{k/100}g^{\prime}(x)dx\qquad\text{--- (4)}\\&=g\left(\frac{k}{100}\right)-g\left(\frac{k-1}{100}\right)\qquad\text{--- (5)}\\&=\frac{k}{100}-\frac{k-1}{100}\\&=\frac{1}{100}\qquad\text{--- (6)}\end{aligned}$

이다. $\displaystyle P(A)>0,P(A^c)>0$ 이므로 확률의 곱셈정리에 의해

$\displaystyle P(A\cap B_k)=P(A)P(B_k\mid A)=\frac{2k-1}{2\cdot10^4}$

$\displaystyle P(A^c\cap B_k)=P(A^c)P(B_k\mid A^c)=\frac{1}{200}$

이다. $\displaystyle B_k=(A\cap B_k)\cup(A^c\cap B_k)$이며 $\displaystyle (A\cap B_k)\cap(A^c\cap B_k)=\varnothing$이므로 확률의 덧셈정리에 의해

$\displaystyle P(B_k)=P(A\cap B_k)+P(A^c\cap B_k)=\frac{2k-1}{2\cdot10^4}+\frac{1}{200}=\frac{2k+99}{2\cdot10^4}\quad\text{--- (7)}$

이다. $\displaystyle k=1,2,\cdots,50$에 대해 $\displaystyle p_{2k}=P(B_{2k})=\frac{4k+99}{2\cdot10^4}$ 이므로

$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^{50}p_{2k}&=\sum_{k=1}^{50}\frac{4k+99}{2\cdot10^4}\\&=\frac{1}{2\cdot10^4}\left(4\cdot\frac{50\cdot51}{2}+99\cdot50\right)\\&=\frac{201}{400}\qquad\text{--- (8)}\end{aligned}$

이다.