의예과 3번

각 항이 정수인 수열 $\displaystyle {b_n+b_{n+1}}$이 수렴하므로 자연수 $\displaystyle m$이 존재하여 $\displaystyle n\ge m$인 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여

$\displaystyle b_n=b_{n+2}\quad\text{---①}$

이다. 즉,

$\displaystyle b_m=b_{m+2k}(k=1,2,\cdots)\quad\text{---(a)}$

$\displaystyle b_{m+1}=b_{m+2k+1}(k=1,2,\cdots)\ \text{---(b)}$

이다.

①에 수열$\displaystyle {b_n}$의 점화식을 대입하면

$\displaystyle b_m=b_{m+2}=b_m(2-b_{m+1})$

이므로

$\displaystyle b_m=0$ 또는 $\displaystyle b_{m+1}=1\text{ ---②}$

이다.

경우1. $\displaystyle b_m=0$

수열$\displaystyle {b_n}$의 점화식, 조건 $\displaystyle b_m=0$과 (a)로부터

$\displaystyle b_{m+3}=b_{m+1}(2-b_{m+2})=2b_{m+1}$

이고 이 결과에 (b)를 대입하면

$\displaystyle b_{m+1}=0\text{ ---(c)}$

이다.

조건 $\displaystyle b_m=0$과 (c)을 (a)와 (b)에 적용하면

$\displaystyle b_m=b_{m+k}=0\ (k=1,2,\cdots)\text{ ---③}$

이므로 수열 $\displaystyle {c_n}$은 $\displaystyle 0$으로 수렴한다. 이제 수열 $\displaystyle {c_n}$이 $\displaystyle 0$으로 수렴하기 위한 순서쌍 $\displaystyle (b_1,b_2)$를 구해보자.

수열$\displaystyle {b_n}$의 점화식에 $\displaystyle b_m=b_{m+1}=0$를 적용하면

$\displaystyle 0=b_{m+1}=b_{m-1}(2-b_m)=2b_{m-1}$

이므로

$\displaystyle b_{m-1}=0$

이다. 마찬가지 과정을 반복하면

$\displaystyle b_{m-1}=\cdots=b_2=b_1=0\text{ ---④}$

이다. 따라서 구하는 순서쌍은 $\displaystyle (0,0)$이다.

경우2. $\displaystyle b_{m+1}=1$

경우1에서와 같은 방법으로 $\displaystyle 1=b_{m+3}=b_{m+1}(2-b_{m+2})=2-b_{m+2}$ 이므로 $\displaystyle b_{m+2}=1$ 이다.

(a)와 (b)에 적용하면

$\displaystyle b_m=b_{m+k}=1\ (k=1,2,\cdots)\text{ ---⑤}$

이므로 수열 $\displaystyle {c_n}$은 $\displaystyle 2$로 수렴한다. 이제 수열 $\displaystyle {c_n}$이 $\displaystyle 2$으로 수렴하기 위한 순서쌍 $\displaystyle (b_1,b_2)$를 구해보자.

등식 $\displaystyle 1=b_{m+1}=b_{m-1}(2-b_m)=b_{m-1}$으로부터 $\displaystyle b_{m-1}=1$을 구하는 과정을 반복하면

$\displaystyle b_{m-1}=\cdots=b_2=b_1=1\text{ ---⑥}$

이다. 따라서 구하는 순서쌍은 $\displaystyle (1,1)$이다.