의예과 2번

첫 번째 문항 [문제2-(1)]

점 $\displaystyle (k,0)$에서 곡선 $\displaystyle y=x^3+3x^2$에 접선을 그을 때 접점의 좌표를 $\displaystyle (t,t^3+3t^2)$이라고 두면 접선의 방정식은

$\displaystyle y=(3t^2+6t)(x-t)+t^3+3t^2\text{----- ①}$ 이고

점 $\displaystyle (k,0)$를 지나므로 ①식에 대입하면

$\displaystyle 0=(3t^2+6t)(k-t)+t^3+3t^2\text{ ---- ②}$

또는

$\displaystyle t(2t^2+(3-3k)t-6k)=0\text{ ---- ③}$

를 만족한다. 접선이 단 하나 존재하기 위해서는 식 ③이 단 하나의 실근을 가져야 한다. 그러므로 이 방정식이 $\displaystyle t=0$를 삼중근으로 갖든지 아니면 $\displaystyle 2t^2+(3-3k)t-6k=0$가 실근을 갖지 않아야 한다. 삼중근을 갖는 것은 불가능하므로

$\displaystyle 2t^2+(3-3k)t-6k=0$의 판별식이 부등식

$\displaystyle (3-3k)^2+48k=3(3k^2+10k+3)<0\text{ -----④}$

을 만족하여야 한다. 그러므로

$\displaystyle -3<k<-1/3\text{ -----⑤}$

이다.

두 번째 문항 [문제2-(2)]

점 $\displaystyle (k,ak+b)$에서 접선을 그을 때 접점의 좌표를 $\displaystyle (t,t^3+3t^2)$이라고 두면 접선의 방정식은

$\displaystyle y=(3t^2+6t)(x-t)+t^3+3t^2\text{ ----- ①}$

이고 이 직선이 점 $\displaystyle (k,ak+b)$를 지나므로

$\displaystyle ak+b=(3t^2+6t)(k-t)+t^3+3t^2\text{ ---- ②}$

또는

$\displaystyle 2t^3+(3-3k)t^2-6kt+ak+b=0\text{ ---- ③}$

를 만족한다.

함수 $\displaystyle g(t)=2t^3+(3-3k)t^2-6kt+ak+b$를 미분하면

$\displaystyle g^{\prime}(t)=6t^2+(6-6k)t-6k=6(t+1)(t-k)$를 얻는다.

그러므로 $\displaystyle k\ne-1$일 때는 함수 $\displaystyle g(t)$는 $\displaystyle t=-1,k$에서 극값

$\displaystyle g(-1)=(3+a)k+b+1\text{ ----④}$

와

$\displaystyle g(k)=-k^3-3k^2+ak+b\text{ ----⑤}$

를 갖는다.

점 $\displaystyle (k,ak+b)$에서 단 하나의 접선이 존재하기 위해서는 $\displaystyle g(t)=0$가 단하나의 실근을 가져야 하므로

$\displaystyle g(-1)g(k)>0\ (k\ne-1)\text{ ----⑥}$

을 만족한다. $\displaystyle k=-1$인 경우는 $\displaystyle g^{\prime}(t)=6(t+1)^2\ge0$이므로 $\displaystyle g(t)=0$는 단 하나의 실근을 갖는다. 조건 ⑥을 만족하기 위해서는

$\displaystyle a<-3\text{ ----⑦}\quad$ 이고 $\displaystyle -\frac{b+1}{3+a}=-1\text{ ---⑧}$

을 만족해야 하므로

$\displaystyle b=a+2\text{ ---- ⑨}$

이다.