의예과 1번

1. ① 주어진 등식 $\displaystyle \lim_{k\to0}\frac{g(a+3k)-g(a-3k)}{k}=6a$ 의 좌변은 $\displaystyle 6g^{\prime}(a)$ 이므로 모든 실수 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle g^{\prime}(a)=a$ 이다.

② 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=x$이고$\displaystyle x=e^t+t,\ y=f(t)$이므로 $\displaystyle x=\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{f^{\prime}(t)}{e^t+1}$이다.

$\displaystyle x=e^t+t$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(t)=(e^t+t)(e^t+1)=e^{2t}+te^t+e^t+t$이다.

③ $\displaystyle f(t)=\frac{1}{2}e^{2t}+te^t+\frac{t^2}{2}+C$ 이고 $\displaystyle f(0)=0$이므로 $\displaystyle f(t)=\frac{1}{2}e^{2t}+te^t+\frac{t^2}{2}-\frac{1}{2}$이다.