의예과 2번

2-1. ① (가)에 의하여 $\displaystyle f(x)=f(2-x)$이고 (나)에 의하여 $\displaystyle f(x)=f(100-x)$이므로 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(100-x)=f(2-x)$ 이다.

② $\displaystyle 2-x$를 $\displaystyle x$로 치환하면 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(98+x)=f(x)$이다.

2-2 ① $\displaystyle 2\le n<50$이면 $\displaystyle \sum_{k=2}^{n}g^{\prime}(k)>0$ 이다. 그 이유는 다음과 같다.(다)와 (라)에 의하여 $\displaystyle 2\le x<50$인 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g^{\prime}(x)=f^{\prime}(f(x))f^{\prime}(x)>0$ 이므로 $\displaystyle \sum_{k=2}^{n}g^{\prime}(k)=0$을 만족시키는 $\displaystyle n$의 값은 50 이상이다.

② $\displaystyle \sum_{k=2}^{98}g^{\prime}(k)=0$이다. 그 이유는 다음과 같다.$\displaystyle g^{\prime}(100-k)=f^{\prime}(f(100-k))f^{\prime}(100-k)=f^{\prime}(f(k))-f^{\prime}(k)=-g^{\prime}(k)$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(100-50)=-g^{\prime}(50)$이고 그 결과 $\displaystyle g^{\prime}(50)=0$이다.Correction. 대학 답안의 $\displaystyle f^{\prime}(f(k))-f^{\prime}(k)$는 $\displaystyle -f^{\prime}(f(k))f^{\prime}(k)$로 읽어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 $\displaystyle \sum_{k=2}^{98}g^{\prime}(k)=\{g^{\prime}(2)+g^{\prime}(100)\}+\cdots+\{g^{\prime}(49)+g^{\prime}(51)\}+g^{\prime}(50)=0$ 이다.Correction. 대학 답안에서 $\displaystyle g^{\prime}(2)$와 짝지은 $\displaystyle g^{\prime}(100)$은 $\displaystyle g^{\prime}(98)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

③ $\displaystyle 50\le n<98$이면 $\displaystyle \sum_{k=2}^{n}g^{\prime}(k)>0$ 이다. 그 이유는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=2}^{n}g^{\prime}(k)&=\sum_{k=2}^{49}g^{\prime}(k)+g^{\prime}(50)+\sum_{k=51}^{n}g^{\prime}(k)=\sum_{k=2}^{49}g^{\prime}(k)+\sum_{k=100-n}^{49}g^{\prime}(100-k)\\&=\sum_{k=2}^{99-n}g^{\prime}(k)+\sum_{k=100-n}^{49}(g^{\prime}(k)+g^{\prime}(100-k))=\sum_{k=2}^{99-n}g^{\prime}(k)>0\end{aligned}$