의예과 3번

3. 한 모서리의 길이가 $\displaystyle \alpha$인 정사면체의 높이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}\alpha$인데 (가)에 의해 정사면체 $\displaystyle \mathrm{O-PQR}$의 한 모서리의 길이가 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$이므로 이 정사면체의 높이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$이다. 그런데 이 정사면체의 높이는 원점 $\displaystyle \mathrm{O}(0,0,0)$에서 평면 $\displaystyle ax+by+cz=1$까지의 거리 $\displaystyle \frac{|a\cdot0+b\cdot0+c\cdot0-1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$과 같다.그러므로$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$또는$\displaystyle a^2+b^2+c^2=3\quad\text{------(1)}$을 얻는다.

평면 $\displaystyle ax+by+cz=1$에 의해 좌표공간은 이 평면을 제외하면 양분되는데 원점 $\displaystyle \mathrm{O}(0,0,0)$와 점 $\displaystyle \mathrm{A}(1,1,1)$이 서로 다른 부분에 위치하면 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OS}}|+|\overrightarrow{\mathrm{SA}}|$의 최솟값은 두 점사이의 거리 $\displaystyle \sqrt{3}$이다. 이는 조건 (다)와 모순이므로 점 $\displaystyle \mathrm{O}(0,0,0)$와 점 $\displaystyle \mathrm{A}(1,1,1)$는 같은 부분에 위치한다.

이 경우 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OS}}|+|\overrightarrow{\mathrm{SA}}|$는 평면 $\displaystyle ax+by+cz=1$에 대한 점 $\displaystyle \mathrm{A}(1,1,1)$의 대칭점 $\displaystyle A^{\prime}$에 대해 $\displaystyle |\overline{OA^{\prime}}|$와 같다. 점 $\displaystyle A^{\prime}$은 점 $\displaystyle A$를 지나고 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{AA^{\prime}}$을 지나는 직선위에 있고 $\displaystyle \overrightarrow{AA^{\prime}}$는 벡터 $\displaystyle (a,b,c)$와 평행하므로 적당한 실수 $\displaystyle t_0$에 대해 점 $\displaystyle A^{\prime}$의 좌표는 $\displaystyle (1+at_0,1+bt_0,1+ct_0)$이다.그러므로 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OS}}|+|\overrightarrow{\mathrm{SA}}|$의 최솟값은 $\displaystyle \sqrt{(1+at_0)^2+(1+bt_0)^2+(1+ct_0)^2}$이고 (다)에 의해$\displaystyle (1+at_0)^2+(1+bt_0)^2+(1+ct_0)^2=\frac{51}{9}$또는$\displaystyle 2t_0(a+b+c)+t_0^2(a^2+b^2+c^2)=\frac{8}{3}\text{ ----(3)}$을 얻는다.

위치관계에 의해 점$\displaystyle A$와 $\displaystyle A^{\prime}$의 중점 $\displaystyle (1+\frac{at_0}{2},1+\frac{bt_0}{2},1+\frac{ct_0}{2})$은 평면 $\displaystyle ax+by+cz=1$에 있으므로$\displaystyle (a+b+c)+\frac{t_0}{2}(a^2+b^2+c^2)=1\text{ -----(4)}$이 성립한다.

(1)을 (3)과 (4)에 대입하면 $\displaystyle t_0=\frac{4}{3}$와$\displaystyle a+b+c=-1\text{ ----------------(5)}$를 구할 수 있고 (1), (2), (5)로부터 $\displaystyle a=1,b=c=-1$을 구할 수 있다.