의예과 1번

(1) $\displaystyle I=\int_0^{\pi}xf(x)dx$라 하자. $\displaystyle t=\pi-x$로 놓으면 치환적분법에 의하여$\displaystyle I=-\int_{\pi}^{0}(\pi-t)f(\pi-t)dt=\int_0^{\pi}(\pi-t)f(\pi-t)dt$

이다. (가)에 의해 $\displaystyle f(\pi-t)=f(t)\ (0\le t\le\pi)$이므로$\displaystyle I=\int_0^{\pi}(\pi-t)f(t)dt=\pi\int_0^{\pi}f(t)dt-\int_0^{\pi}tf(t)dt$

가 되며, (다)에 의해 $\displaystyle \int_0^{\pi}f(t)dt=1$이므로$\displaystyle I=\pi-I$

이다. 따라서 $\displaystyle I=\frac{\pi}{2}$이므로 구하는 정적분의 값은$\displaystyle \int_0^{\pi}xf(x)dx=\frac{\pi}{2}$이다.

(2) 구하려는 합을 $\displaystyle S_n$이라 하자. $\displaystyle S_n$을 $\displaystyle \sum$로 표현하면$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}k\int_{2(k-1)\pi}^{2k\pi}xf(x)dx$이다.

$\displaystyle k=0,1,2,\cdots$에 대하여$\displaystyle a_k=\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}xf(x)dx\qquad\text{……①}$라 하면$\displaystyle \int_{2(k-1)\pi}^{2k\pi}xf(x)dx=\int_{(2k-2)\pi}^{(2k-1)\pi}xf(x)dx+\int_{(2k-1)\pi}^{2k\pi}xf(x)dx=a_{2k-2}+a_{2k-1}$이므로$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}k(a_{2k-2}+a_{2k-1})\qquad\text{……②}$이다. ①에서 $\displaystyle t=x-k\pi$로 놓으면 치환적분법에 의하여$\displaystyle a_k=\int_0^{\pi}(t+k\pi)f(t+k\pi)dt$이다.

이때 (가)와 (나)에 의해$\displaystyle \begin{aligned}f(t+k\pi)&=f(\pi+\{t+(k-1)\pi\})\\&=f(-\{t+(k-1)\pi\})\quad\because\text{(가)}\\&=f(t+(k-1)\pi)\quad\because\text{(나)}\\&=\cdots\\&=f(t)\end{aligned}$이므로$\displaystyle a_k=\int_0^{\pi}(t+k\pi)f(t)dt=\int_0^{\pi}tf(t)dt+k\pi\int_0^{\pi}f(t)dt$이다. 문제 1-(1)에 의해 $\displaystyle \int_0^{\pi}tf(t)dt=\frac{\pi}{2}$이고 (다)에 의해 $\displaystyle \int_0^{\pi}f(t)dt=1$이므로$\displaystyle a_k=\frac{\pi}{2}+k\pi$이다.

따라서 $\displaystyle a_{2k-2}+a_{2k-1}=4k-2$이므로 이를 ②에 대입하여 정리하면 구하는 합 $\displaystyle S_n$은Correction. 대학 답안의 $\displaystyle a_{2k-2}+a_{2k-1}=4k-2$에는 $\displaystyle \pi$가 빠져 있다. 오른쪽은 $\displaystyle (4k-2)\pi$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}k(4k-2)\pi$

$\displaystyle \begin{aligned}&=4\pi\sum_{k=1}^{n}k^2-2\pi\sum_{k=1}^{n}k\\&=4\pi\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-2\pi\frac{n(n+1)}{2}\\&=\frac{n(n+1)(4n-1)}{3}\end{aligned}$Correction. 대학 답안의 최종 합에는 $\displaystyle \pi$가 빠져 있다. 최종 합은 $\displaystyle \frac{n(n+1)(4n-1)}{3}\pi$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.