수리논술, 이게 다다.

의예과 2번

오류 제보

울산대 2018학년도 수시 의예과 2번 · mathesis.kr/archive/ulsan/2018su/uiye_2

이전 문제
배점80점
예상 소요 시간15분
다음 문제

문제

【문제 2】(80점) 두 주머니 A와 B에는 1,2,3,⋯ ,2n\displaystyle 1,2,3,\cdots,2n(n\displaystyle n은 자연수)의 숫자가 하나씩 적혀 있는 2n\displaystyle 2n장의 카드가 각각 들어 있다. 철수는 주머니 A에서, 영희는 주머니 B에서 각자 임의로 두 장의 카드를 꺼내어 가진다. 철수가 가진 두 장의 카드에 적힌 수의 합을 S1\displaystyle S_1이라 하고, 영희가 가진 두 장의 카드에 적힌 수의 합을 S2\displaystyle S_2라 하자. S1>S2\displaystyle S_1>S_2일 확률을 구하시오.

해설강의 준비중

울산대 2018학년도 수시 의예과 2번 · mathesis.kr/archive/ulsan/2018su/uiye_2

1,2,⋯ ,2n\displaystyle 1,2,\cdots,2n이 들어 있는 2n\displaystyle 2n장의 카드에서 두 카드를 선택하여 숫자를 합하면 3\displaystyle 3이상이고 4n−1\displaystyle 4n-1이하이다. 합이 l(3≤l≤4n−1)\displaystyle l(3\le l\le4n-1)이 될 경우의 수를 생각하는데 3≤l≤2n, l=2n+1, 2n+2≤l≤4n−1\displaystyle 3\le l\le2n,\ l=2n+1,\ 2n+2\le l\le4n-1 로 나누어 생각하자.선택된 카드의 수를 x,y\displaystyle x,y라고 하고 x\displaystyle x가 작은 수라고 두자.

(1) 3≤l≤2n\displaystyle 3\le l\le2nl=2m+1\displaystyle l=2m+1 또는 l=2m+2 (1≤m≤n−1)\displaystyle l=2m+2\ (1\le m\le n-1)일 경우 x\displaystyle x의 경우의 수는 m\displaystyle m이므로 두 수의 합이 l=2m+1\displaystyle l=2m+1 또는 l=2m+2\displaystyle l=2m+2일 경우의 수는 m\displaystyle m이다.그러므로 S1=S2=l\displaystyle S_1=S_2=l이고 3≤l≤2n\displaystyle 3\le l\le2n일 경우의 수는 2∑k=1n−1k2\displaystyle 2\sum_{k=1}^{n-1}k^2이다.

(2) l=2n+1\displaystyle l=2n+1x\displaystyle x의 경우의 수는 n\displaystyle n이다. 그러므로 두 수의 합이 l\displaystyle l이 될 경우의 수는 역시 n\displaystyle n이다.그러므로 S1=S2=l=2n+1\displaystyle S_1=S_2=l=2n+1일 경우의 수는 n2\displaystyle n^2이다.

(3) 2n+2≤l≤4n−1\displaystyle 2n+2\le l\le4n-1l=4n−k,(k=1,⋯ ,2n−2)\displaystyle l=4n-k,(k=1,\cdots,2n-2)로 나타 낼 수 있다.k=2m(1≤m≤n−1)\displaystyle k=2m(1\le m\le n-1)이면 x≤2n−m−1\displaystyle x\le2n-m-1이고또 y=l−x=4n−2m−x≤2n\displaystyle y=l-x=4n-2m-x\le2n이므로 x≥2n−2m\displaystyle x\ge2n-2m이다. 그러므로2n−2m≤x≤2n−m−1\displaystyle 2n-2m\le x\le2n-m-1이다.그러므로 x\displaystyle x의 경우의 수는 m\displaystyle m이다.k=2m−1(1≤m≤n−1)\displaystyle k=2m-1(1\le m\le n-1)이면 x≤2n−m\displaystyle x\le2n-m이다.y=l−x≤2n\displaystyle y=l-x\le2n 또는 x≥l−2n=2n−2m+1\displaystyle x\ge l-2n=2n-2m+1그러므로 2n−2m+1≤x≤2n−m\displaystyle 2n-2m+1\le x\le2n-m이고 x\displaystyle x의 경우의 수는 m\displaystyle m이다.k=2m−1\displaystyle k=2m-1 또는 2m(1≤m≤n−1)\displaystyle 2m(1\le m\le n-1)인 경우 합이 l=4n−k\displaystyle l=4n-k일 경우의 수는 m\displaystyle m이다. 그러므로 S1=S2=l\displaystyle S_1=S_2=l이고 2n+2≤l≤4n−1\displaystyle 2n+2\le l\le4n-1일 경우의 수는 2∑k=1n−1k2\displaystyle 2\sum_{k=1}^{n-1}k^2이다.

(1),(2) 그리고 (3)에 의해 S1=S2\displaystyle S_1=S_2인 경우의 수는 4∑k=1n−1k2+n2=23(n−1)n(2n−1)+n2=13n(4n2−3n+2)\displaystyle 4\sum_{k=1}^{n-1}k^2+n^2=\frac{2}{3}(n-1)n(2n-1)+n^2=\frac{1}{3}n(4n^2-3n+2)이고 철수와 영희가 주머니 A,B에서 각각 두 장의 카드를 선택할 경우의 수는 n2(2n−1)2\displaystyle n^2(2n-1)^2 이므로 S1=S2\displaystyle S_1=S_2일 확률은 n(4n2−3n+2)3n2(2n−1)2=4n2−3n+23n(2n−1)2\displaystyle \frac{n(4n^2-3n+2)}{3n^2(2n-1)^2}=\frac{4n^2-3n+2}{3n(2n-1)^2}이다. 그러므로 S1>S2\displaystyle S_1>S_2일 확률은 12(1−4n2−3n+23n(2n−1)2)\displaystyle \frac{1}{2}(1-\frac{4n^2-3n+2}{3n(2n-1)^2})이다.

채점 기준배점
1,2,⋯ ,2n\displaystyle 1,2,\cdots,2n이 들어 있는 2n\displaystyle 2n장의 카드에서 두 카드를 선택하여 숫자를 합하면 3\displaystyle 3이상이고 4n−1\displaystyle 4n-1 이하이다라는 표현이 있다.10
숫자의 합이 3≤l≤2n, l=2n+1, 2n+2≤l≤4n−1\displaystyle 3\le l\le2n,\ l=2n+1,\ 2n+2\le l\le4n-1인 세 가지로 나누어 숫자의 합이 같아지는 경우의 수를 헤아리는 시도가 있음10
3≤l≤2n, l=2n+1, 2n+2≤l≤4n−1\displaystyle 3\le l\le2n,\ l=2n+1,\ 2n+2\le l\le4n-1인 세 가지 중 2가지를 완벽하게 헤아림20
3≤l≤2n, l=2n+1, 2n+2≤l≤4n−1\displaystyle 3\le l\le2n,\ l=2n+1,\ 2n+2\le l\le4n-1인 세 가지 완벽하게 헤아림30
두 수의 합이 같아지는 확률을 계산하면 10점10
바라는 사건의 확률을 계산하면 20점20

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.