의예과 2번

$\displaystyle 1,2,\cdots,2n$이 들어 있는 $\displaystyle 2n$장의 카드에서 두 카드를 선택하여 숫자를 합하면 $\displaystyle 3$이상이고 $\displaystyle 4n-1$이하이다. 합이 $\displaystyle l(3\le l\le4n-1)$이 될 경우의 수를 생각하는데 $\displaystyle 3\le l\le2n,\ l=2n+1,\ 2n+2\le l\le4n-1$ 로 나누어 생각하자.선택된 카드의 수를 $\displaystyle x,y$라고 하고 $\displaystyle x$가 작은 수라고 두자.

(1) $\displaystyle 3\le l\le2n$$\displaystyle l=2m+1$ 또는 $\displaystyle l=2m+2\ (1\le m\le n-1)$일 경우 $\displaystyle x$의 경우의 수는 $\displaystyle m$이므로 두 수의 합이 $\displaystyle l=2m+1$ 또는 $\displaystyle l=2m+2$일 경우의 수는 $\displaystyle m$이다.그러므로 $\displaystyle S_1=S_2=l$이고 $\displaystyle 3\le l\le2n$일 경우의 수는 $\displaystyle 2\sum_{k=1}^{n-1}k^2$이다.

(2) $\displaystyle l=2n+1$$\displaystyle x$의 경우의 수는 $\displaystyle n$이다. 그러므로 두 수의 합이 $\displaystyle l$이 될 경우의 수는 역시 $\displaystyle n$이다.그러므로 $\displaystyle S_1=S_2=l=2n+1$일 경우의 수는 $\displaystyle n^2$이다.

(3) $\displaystyle 2n+2\le l\le4n-1$$\displaystyle l=4n-k,(k=1,\cdots,2n-2)$로 나타 낼 수 있다.$\displaystyle k=2m(1\le m\le n-1)$이면 $\displaystyle x\le2n-m-1$이고또 $\displaystyle y=l-x=4n-2m-x\le2n$이므로 $\displaystyle x\ge2n-2m$이다. 그러므로$\displaystyle 2n-2m\le x\le2n-m-1$이다.그러므로 $\displaystyle x$의 경우의 수는 $\displaystyle m$이다.$\displaystyle k=2m-1(1\le m\le n-1)$이면 $\displaystyle x\le2n-m$이다.$\displaystyle y=l-x\le2n$ 또는 $\displaystyle x\ge l-2n=2n-2m+1$그러므로 $\displaystyle 2n-2m+1\le x\le2n-m$이고 $\displaystyle x$의 경우의 수는 $\displaystyle m$이다.$\displaystyle k=2m-1$ 또는 $\displaystyle 2m(1\le m\le n-1)$인 경우 합이 $\displaystyle l=4n-k$일 경우의 수는 $\displaystyle m$이다. 그러므로 $\displaystyle S_1=S_2=l$이고 $\displaystyle 2n+2\le l\le4n-1$일 경우의 수는 $\displaystyle 2\sum_{k=1}^{n-1}k^2$이다.

(1),(2) 그리고 (3)에 의해 $\displaystyle S_1=S_2$인 경우의 수는 $\displaystyle 4\sum_{k=1}^{n-1}k^2+n^2=\frac{2}{3}(n-1)n(2n-1)+n^2=\frac{1}{3}n(4n^2-3n+2)$이고 철수와 영희가 주머니 A,B에서 각각 두 장의 카드를 선택할 경우의 수는 $\displaystyle n^2(2n-1)^2$ 이므로 $\displaystyle S_1=S_2$일 확률은 $\displaystyle \frac{n(4n^2-3n+2)}{3n^2(2n-1)^2}=\frac{4n^2-3n+2}{3n(2n-1)^2}$이다. 그러므로 $\displaystyle S_1>S_2$일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{2}(1-\frac{4n^2-3n+2}{3n(2n-1)^2})$이다.