의예과 3번

3. 가)에서 접선을 $\displaystyle y=px+q$라 하면$\displaystyle \begin{aligned}x^4+ax^3+bx^2-px-q&=(x-\alpha)^2(x-\beta)^2\\&=(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta))^2\end{aligned}$이므로 $\displaystyle a=-2(\alpha+\beta),b=(\alpha+\beta)^2+2\alpha\beta$이다. 그러므로$\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{a}{2},\ \alpha\beta=\frac{4b-a^2}{8}\text{ ------(1)}$를 얻는다.

(1)로부터 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$는$\displaystyle t^2+\frac{a}{2}t+\frac{4b-a^2}{8}=0$ 의 서로 다른 두 실근이다.그러므로$\displaystyle b<\frac{3}{8}a^2\text{ -----(2)}$를 얻는다.

조건 나)와 대칭성에 의해 점 $\displaystyle (2,0)$를 지나고 곡선 $\displaystyle y=\frac{1}{2}(x^3+3x^2+ax+b-4)$에 접하는 직선이 2개이다. 점 $\displaystyle (2,0)$를 지나고 점 $\displaystyle (t,\frac{1}{2}(t^3+3t^2+at+b-4))$에서 이 곡선에 접하는 직선의 방정식은$\displaystyle Y=\frac{1}{2}(3t^2+6t+a)(X-2)$이다.

점 $\displaystyle (t,\frac{1}{2}(t^3+3t^2+at+b-4))$를 대입하면$\displaystyle t^3+3t^2+at+b-4=(3t^2+6t+a)(t-2)$ 또는$\displaystyle 2t^3-3t^2-12t-2a-b+4=0$이다.이 방정식은 서로 다른 두 개의 실근을 가져야 한다.

함수 $\displaystyle y=2t^3-3t^2-12t-2a-b+4$는 $\displaystyle t=-1$에서 극댓값을 $\displaystyle t=2$에서 극솟값을 갖는다. 그러므로$\displaystyle 16-12-24-2a-b+4=0\Rightarrow2a+b=-16\text{ ----(3)}$혹은$\displaystyle -2-3+12-2a-b+4=0\Rightarrow2a+b=11\text{ -----(4)}$이다. $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$는 자연수이므로 (4)가 성립한다.

그러므로 (2)와 (4)에 의해 $\displaystyle (a,b)=(5,1)$ 또는 $\displaystyle (a,b)=(4,3)$이다.