의예과 1번

G를 $\displaystyle \overline{\mathrm{CH}}$의 연장선이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$와 만나는 점이라고 하면 삼수선의 정리에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{DG}}$와$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$가 수직이 된다. 그러므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{DG}}^2+\overline{\mathrm{GB}}^2=\overline{\mathrm{DB}}^2$ 그리고 $\displaystyle \overline{\mathrm{CG}}^2+\overline{\mathrm{GB}}^2=\overline{\mathrm{CB}}^2$이 성립한다. $\displaystyle \angle\mathrm{BDC}=\frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{DB}}^2+\overline{\mathrm{CD}}^2=\overline{\mathrm{BC}}^2$.

이 세 관계식으로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{DG}}^2+\overline{\mathrm{CD}}^2=\overline{\mathrm{CG}}^2$이 성립하므로 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}\perp\overline{\mathrm{DG}}$임을 알 수 있다. $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}\perp\overline{\mathrm{DB}}$ 이므로 삼각형 ADB와 $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}$가 수직임을 알 수 있고 이로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}\perp\overline{\mathrm{CD}}$.

마찬가지 방법으로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}\perp\overline{\mathrm{BD}}$ 가 성립하므로 D에서 만나는 세 면이 모두 직각 삼각형이고 아래의 세 식이 성립한다.$\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}^2+\overline{\mathrm{CD}}^2=\overline{\mathrm{CA}}^2$$\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}^2+\overline{\mathrm{BD}}^2=\overline{\mathrm{AB}}^2$$\displaystyle \overline{\mathrm{BD}}^2+\overline{\mathrm{CD}}^2=\overline{\mathrm{BC}}^2$

위 세 식을 모두 더하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{BC}}^2+\overline{\mathrm{CA}}^2=2(\overline{\mathrm{AD}}^2+\overline{\mathrm{BD}}^2+\overline{\mathrm{CD}}^2)$이 성립한다.그러므로 주어진 조건식 $\displaystyle (\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BC}}+\overline{\mathrm{CA}})^2=6(\overline{\mathrm{AD}}^2+\overline{\mathrm{BD}}^2+\overline{\mathrm{CD}}^2)$로부터$\displaystyle (\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BC}}+\overline{\mathrm{CA}})^2=3(\overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{BC}}^2+\overline{\mathrm{CA}}^2)$이 성립하고 이로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{CA}}$가 성립한다.

이제 꼭짓점 D의 좌표를 $\displaystyle (0,0,0)$라고 두면 $\displaystyle \mathrm{A}=(1,0,0),\mathrm{B}=(0,1,0),\mathrm{C}=(0,0,1)$라고 할 수 있다. 이로부터 사면체 ABCD의 부피는$\displaystyle \frac{1}{3}\times\text{삼각형 ADB의 넓이}\times\overline{\mathrm{DC}}=\frac{1}{3}\times1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$.